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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 7.Revisão - Ex. 12

Use integração por partes para calcular a integral.

∫ 0 1 2 a r c t g   ( 2 x ) d x

Passo 1

Precisamos montar a fórmulinha:

∫ u d v = u v - ∫ v d u

Quando a gente tem uma inversa trigonométrica sozinha no integrando, escolhemos essa função como u :

u = a r c t g   2 x , d u d x = 2 1 + 2 x 2 = 2 1 + 4 x 2 ∴ d u = 2 1 + 4 x 2 d x

E d v fica sendo o que sobrou:

d v = 1   d x ∴ v = ∫ 1 d x = x

Substituindo o que a gente tem:

∫ 0 1 2 a r c t g   ( 2 x ) d x = a r c t g   2 x ⋅ x   | 1 2 0 - ∫ x ⋅ 2 1 + 4 x 2 d x

Passo 2

Agora é resolver separadamente essa integral que apareceu:

∫ 2 x 1 + 4 x 2 d x

Vamos usar a substituição:

u = 1 + 4 x 2

d u d x = 8 x ∴ d u 4 = 2 x   d x

Substituindo na integral:

∫ 2 x 1 + 4 x 2 d x = 1 4 ∫ 1 u d u = 1 4 ln ⁡ u

Mas como u = 1 + 4 x 2 :

∫ 2 x 1 + 4 x 2 d x = 1 4 ln ⁡ 1 + 4 x 2

Passo 3

Substituindo a resposta nas nossas continhas:

∫ 0 1 2 a r c t g   ( 2 x ) d x = a r c t g   2 x ⋅ x   | 1 2 0 - 1 4 ln ⁡ 1 + 4 x 2   | 1 2 0

∫ 0 1 2 a r c t g   2 x d x = π 8 - 1 4 ln ⁡ 2 - ln ⁡ 1 = π 8 - ln ⁡ 2 4

Uhul! Conseguimos!

Resposta

π 8 - ln ⁡ 2 4

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