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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 7.2 - Ex. 48

Calcule a integral usando integração por partes tabulada.

∫ x 2 + x + 1 s e n x d x

Passo 1

Podemos resolver o exercício utilizando Integração por partes tabulada, que consiste em derivar repetidamente uma das funções (geralmente o polinômio) até chegar em zero.

Após derivar repetidamente os termos, iremos traçar uma seta partindo da primeira entrada da coluna de derivação, até o ponto da coluna de integração na linha de baixo, e faremos isso até atingir o último termo e identificaremos com sinais + , - ... iniciando sempre com o sinal positivo. Bora lá?

Começando com a derivação repetida e integração repetida :

Agora, vamos considerar os favores interligados pela seta, como uma multiplicação, inclusive de sinais. Dessa forma:

∫ x 2 + x + 1 s e n x d x = + x 2 + x + 1 - cos ⁡ x + - - s e n x 2 x + 1 + + ( 2 ) ( c o s ⁡ ( x )

Multiplicando os termos, temos:

∫ x 2 + x + 1 s e n x d x = - cos ⁡ x x 2 + x + 1 + s e n x 2 x + 1 + 2 c o s ⁡ ( x )

Reorganizando termos, temos:

∫ x 2 + x + 1 s e n x d x = - x 2 cos ⁡ x - x cos ⁡ x - cos ⁡ x + 2 x s e n x + s e n ( x ) + 2 c o s ⁡ ( x )

Cortando alguns termos, temos:

∫ x 2 + x + 1 s e n x d x = - x 2 cos ⁡ x - x cos ⁡ x + cos ⁡ x + 2 x s e n x + s e n ( x )

Reorganizando:

∫ x 2 + x + 1 s e n x d x = cos ⁡ x - x 2 - x + 1 + s e n ( x ) ( 2 x + 1 )

Resposta

∫ x 2 + x + 1 s e n x d x = cos ⁡ x - x 2 - x + 1 + s e n ( x ) ( 2 x + 1 )

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