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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 7.1 - Ex. 53

Use integração por partes para demonstrar a fórmula da redução.

tg n ⁡ x d x = tg n - 1 ⁡ x n - 1 - ∫ tg n - 2 ⁡ x d x   ( n ≠ 1 )

Passo 1

Opa, bora resolver esse problema! Temos que provar que:

tg n ⁡ x d x = tg n - 1 ⁡ x n - 1 - ∫ tg n - 2 ⁡ x d x   ( n ≠ 1 )

Vamos usar Integração por Partes na parte esquerda da igualdade para chegar na parte direita:

∫ u d v = u v - ∫ v d u

Cabe a gente escolher quem será u   e   v   adequadamente. Infelizmente apenas a prática nos ajuda com essa escolha.

Passo 2

Temos que:

∫ tg n ⁡ x d x = ∫ tg n - 2 ⁡ x tg 2 ⁡ x d x

= ∫ tg n - 2 ⁡ x sec 2 ⁡ x - 1   d x

Utilizando a identidade trigonométrica: tg 2   x = sec 2 ⁡ x - 1

∫ tg n - 2 ⁡ x sec 2 ⁡ x - ∫ tg n - 2 ⁡ x d x = I - ∫ tg n - 2 ⁡ x d x

Passo 3

Agora, pra facilitar nossa resolução, faremos algumas substituições:

u = tg n - 2 ⁡ x ,   d v = sec 2 ⁡ x d x → d u = n - 2 tg n - 3 ⁡ x sec 2 ⁡ x d x ,   v = tg ⁡ x

Assim, usando a Equação 2, teremos que

I = tg n - 1 ⁡ x - ( n - 2 ) ∫ tg n - 2 ⁡ x   sec 2 ⁡ x d x

1 I = tg n - 1 ⁡ x - n - 2 I

n - 1 I = tg n - 1 ⁡ x

I = tg n - 1 ⁡ x n - 1

Agora a gente finaliza retornando na integral original!

∫ tg n ⁡ x d x = tg n - 1 ⁡ x n - 1 - ∫ tg n - 2 ⁡ x d x

Resposta

Desenvolvimento.

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