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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 7.1 - Ex. 48

  1. Demonstre a fórmula de redução

    2. ∫ cos n ⁡ x d x = 1 n cos n - 1 ⁡ x sen ⁡ x + n - 1 n ∫ cos n - 2 ⁡ x d x

  2. Use a parte (a) para calcular ∫ cos 2 ⁡ x d x .
  3. Use as partes (a) e (b) para calcular ∫ cos 4 ⁡ x d x .

Passo 1

Opa, bora lá! A primeira coisa que esse problema pede é que a gente demonstre a fórmula de redução:

∫ cos n ⁡ x d x = 1 n cos n - 1 ⁡ x sen ⁡ x + n - 1 n ∫ cos n - 2 ⁡ x d x

Pra isso a gente começa fazendo aquelas substituições de praxe. Aqui fazemos:

u = cos n - 1 ⁡ x ,   d v = cos ⁡ x d x

Temos então:

d u = - n - 1 cos n - 2 ⁡ x sen ⁡ x d x

  v = sen ⁡ x

Assim, diremos que :

∫ cos n ⁡ x d x = cos n - 1 ⁡ x sen ⁡ x + n - 1 ∫ cos n - 2 ⁡ x sen 2 ⁡ x d x

= cos n - 1 ⁡ x sen ⁡ x + n - 1 ∫ cos n - 2 ⁡ x 1 - cos 2 ⁡ x d x

Passo 2

Temos que calcular a integral:

∫ cos n - 2 ⁡ x - cos 2 ⁡ x cos n - 2 ⁡ x d x

Vamos dar uma arrumadinha:

∫ cos n - 2 ⁡ x 1 - cos 2 ⁡ x d x = ∫ cos n - 2 ⁡ x   d x - ∫ cos n ⁡ x d x

Rearranjando os termos, nós temos:

n ∫ cos n ⁡ x d x = cos n - 1 ⁡ x sen ⁡ x + n - 1 ∫ cos n - 2 ⁡ x d x

ou, dividindo tudo por n :

∫ cos n ⁡ x d x = 1 n cos n - 1 ⁡ x sen ⁡ x + n - 1 n ∫ cos n - 2 ⁡ x d x

Prontinhoo, provamos!

Passo 3

Agora a gente tem que usar a redução obtida pra calcular ∫ cos 2 ⁡ x d x :

Substituindo n = 2 na parte (a) temos

∫ cos 2 ⁡ x d x = 1 2 cos ⁡ x sen ⁡ x + 1 2 ∫ 1 d x = x 2 + sen ⁡ 2 x 4 + C

Passo 4

Pra acabar vamos calcular ∫ cos 4 ⁡ x d x !

Usando n = 4 temos:

∫ cos 4 ⁡ x d x = 1 4 cos 3 ⁡ x sen ⁡ x + 3 4 ∫ cos 2 ⁡ x d x

= 1 4 cos 3 ⁡ x sen ⁡ x + 3 8 x + 3 16 sen ⁡ 2 x + C

Resposta

a D e m o n s t r a ç ã o

( b ) ∫ cos 2 ⁡ x d x = x 2 + sen ⁡ 2 x 4 + C

( c ) ∫ cos 4 ⁡ x d x = 1 4 cos 3 ⁡ x sen ⁡ x + 3 8 x + 3 16 sen ⁡ 2 x + C

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