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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 7.1 - Ex. 56

Use o Exercício 52 para encontrar int x^4 e^x d x .

Passo 1

Olá, meu amigo, Yuri aqui e irei lhe ajudar com a resolução desta atividade.

O que este exercício nos pede é para voltarmos ao exercício 52, e o que ele nos traz é uma fórmula de recorrência para o nosso caso

int_()^() x^n e^x d x = x^n e^x - n int_()^() x^(n - 1) e^x d x

Esta fórmula foi obtida utilizando a integração por partes e caso você não tenha visto este exercício, vale a pena dar uma olhada nas nossas soluções.

O que iremos fazer aqui então é aplicar estar fórmula encontrada em exercício anterior.

Passo 2

Partindo então para a aplicação da fórmula:

int_()^() x^4 e^x d x = x^4 e^x - 4 int_()^() x^3 e^x d x

Agora repara que surgiu ali o termo int_()^() x^3 e^x d x , em que vamos ter que usar a fórmula de recorrência de novo. E isso já era esperado justamente por ser uma fórmula de recorrência. Então novamente:

int_()^() x^4 e^x d x = x^4 e^x - 4 [x^3 e^x - 3 int_()^() x^(3 - 1) e^x d x]

int_()^() x^4 e^x d x = x^4 e^x - 4 x^3 e^x + 12 int_()^() x^2 e^x d x

E lá vamos nós aplicarmos a fórmula de recorrência:

int_()^() x^4 e^x d x = x^4 e^x - 4 x^3 e^x + 12 [x^2 e^x - 2 int_()^() x^(2 - 1) e^x d x]

int_()^() x^4 e^x d x = x^4 e^x - 4 x^3 e^x + 12 x^2 e^x - 24 int_()^() x e^x d x

E agora pela última vez:

int_()^() x^4 e^x d x = x^4 e^x - 4 x^3 e^x + 12 x^2 e^x - 24 [x^1 e^x - 1 * int_()^() x^(1 - 1) e^x d x]

int_()^() x^4 e^x d x = x^4 e^x - 4 x^3 e^x + 12 x^2 e^x - 24 x e^x + 24 * int_()^() e^x d x

int_()^() x^4 e^x d x = x^4 e^x - 4 x^3 e^x + 12 x^2 e^x - 24 x e^x + 24 e^x + C

Resposta

int_()^() x^4 e^x d x = x^4 e^x - 4 x^3 e^x + 12 x^2 e^x - 24 x e^x + 24 e^x + C

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