Use o Exercício 52 para encontrar ∫ x 4 e x d x .

Passo 1

Olá, meu amigo, Yuri aqui e irei lhe ajudar com a resolução desta atividade.

O que este exercício nos pede é para voltarmos ao exercício 52, e o que ele nos traz é uma fórmula de recorrência para o nosso caso

∫     x n e x d x = x n e x - n ∫     x n - 1 e x d x

Esta fórmula foi obtida utilizando a integração por partes e caso você não tenha visto este exercício, vale a pena dar uma olhada nas nossas soluções.

O que iremos fazer aqui então é aplicar estar fórmula encontrada em exercício anterior.

Passo 2

Partindo então para a aplicação da fórmula:

∫     x 4 e x d x = x 4 e x - 4 ∫     x 3 e x d x

Agora repara que surgiu ali o termo ∫     x 3 e x d x , em que vamos ter que usar a fórmula de recorrência de novo. E isso já era esperado justamente por ser uma fórmula de recorrência. Então novamente:

∫     x 4 e x d x = x 4 e x - 4   x 3 e x - 3 ∫     x 3 - 1 e x d x

∫     x 4 e x d x = x 4 e x - 4   x 3 e x + 12 ∫     x 2 e x d x

E lá vamos nós aplicarmos a fórmula de recorrência:

∫     x 4 e x d x = x 4 e x - 4   x 3 e x + 12 x 2 e x - 2 ∫     x 2 - 1 e x d x

∫     x 4 e x d x = x 4 e x - 4   x 3 e x + 12 x 2 e x - 24 ∫     x e x d x

E agora pela última vez:

∫     x 4 e x d x = x 4 e x - 4   x 3 e x + 12 x 2 e x - 24   x 1 e x - 1 ∙ ∫     x 1 - 1 e x d x

∫     x 4 e x d x = x 4 e x - 4   x 3 e x + 12 x 2 e x - 24   x e x + 24 ∙ ∫     e x d x

∫     x 4 e x d x = x 4 e x - 4   x 3 e x + 12 x 2 e x - 24   x e x + 24 e x + C

Resposta

∫     x 4 e x d x = x 4 e x - 4   x 3 e x + 12 x 2 e x - 24   x e x + 24 e x + C

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