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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo A- Ed: 6º - Capítulo 7.4 - Ex. 19

Nos exercícios 1 a 35 , calcular a integral indefinida.

Passo 1

Lembrando da identidade trigonométrica

c o s 2 n x = 1 + cos ⁡ 2 n x 2

É possível reescrever a integral, podendo obter:

I = ∫ c o s 2 x 2 = ∫ 1 + cos ⁡ 2 x 2 2 d x

I = 1 4 ∫ 1 + 2 cos ⁡ 2 x + c o s 2 ( 2 x d x

I = 1 4 ∫ 1 d x + 2 ∫ cos ⁡ 2 x d x + ∫ 1 + cos ⁡ 4 x 2 d x

Portanto:

I = 1 4 ∫ 1 d x + ∫ 2 cos ⁡ 2 x d x + 1 2 ∫ d x + ∫ cos ⁡ 4 x d x

Passo 2

Resolvendo a integral:

I = 1 4 x + s e n 2 x + 1 2 x + 1 2 s e n 4 x 4 + C

I = 1 4 3 2 x + s e n 2 x + 1 8 s e n 4 x + C

Como a integral é indefinida, deve-se adicionar uma constante arbitrária ao resultado da integral.

Passo 3

Agora, é possível rearranjar o resultado obtido utilizando as seguintes identidades trigonométricas:

s e n 2 x = 2 s e n x   c o s x

s e n 4 x = 4 s e n x   c o s 3 x - 4 s e n 3 x   c o s x

s e n 2 x = 1 - c o s 2 x

Então:

I = 1 4 3 2 x + 2 s e n x   c o s x + 1 2 s e n x   c o s 3 x - 1 2 s e n 3 x   c o s x + C

I = 1 8 3 x + 4 s e n x   c o s x + s e n x   c o s 3 x - s e n x   c o s x 1 - c o s 2 x + C

I = 1 8 3 x + 4 s e n x   c o s x + s e n x   c o s 3 x - s e n x   c o s x + s e n x   c o s 3 x + C

Logo,

I = 1 8 3 x + 3 s e n x   c o s x + 2 s e n x   c o s 3 x + C

I = 3 8 x + 3 8 s e n x   c o s x + 1 4 s e n x   c o s 3 x + C

Resposta

3 8 x + 3 8 s e n x   c o s x + 1 4 s e n x   c o s 3 x + C

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