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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 8.1 - Ex. 67

Use a fórmula:

∫ f - 1 x d x = x f - 1 x - ∫ f y d y , sendo y = f - 1 ( x )

Expresse suas respostas em termos de x:

67 - ∫ s e n - 1 x   d x

Passo 1

Vamos utilizar a fórmula indicada no enunciado, deste modo:

∫ f - 1 x d x = x f - 1 x - ∫ f y d y

Sendo:

f - 1 x = s e n - 1 x e f y = s e n ( y )

Desta forma:

∫ f - 1 x d x   =   x s e n - 1 x - ∫ s e n ( y ) d y

Passo 2

Resolveremos agora a parte da integral:

x s e n - 1 x - ∫ s e n ( y ) d y

Dado: ∫ s e n y =   - cos ⁡ y + c

Deste modo teremos:

x s e n - 1 x - - cos ⁡ y =

x s e n - 1 + cos ⁡ y + c

Passo 3

Dado: y = f - 1 ( x ) , substituindo teremos:

x s e n - 1 + cos ⁡ s e n - 1 x + c

Resposta

x s e n - 1 + cos ⁡ s e n - 1 x + c

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