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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 6.2 - Ex. 27b

Nos Exercícios 27 e 28, use o método da casca para determinar o volume dos sólidos obtidos com a rotação das regiões sombreadas em torno dos eixos indicados.

27 –

B – A reta y = 1.

Passo 1

Observe que os limites da figura do eixo apresentado é o 1 e 0, logo este será nosso limite integração.

Para o raio teremos: 1 - y   , pois y = 1 .

Utilizaremos a fórmula:

V =   ∫ b a 2 π ⋅ r a i o   d a   c a s c a a l t u r a   d a   c a s c a d y

Inserimos agora os valores na fórmula:

V =   2 π ∫ 0 1 ( 1 - y ) 12 ( y 2 - y 3 ) d y = 2 π ∫ 0 1 1 - y 12 y 2 - 12 y 3 d y = 2 π ∫ 0 1 12 y 4 - 24 y 3 + 12 y 2   d y

Resolvendo a integral teremos:

V = 2 π 12 y 5 5 - 24 y 4 4 + 12 y 3 3 0 1 = 2 π 12 y 5 5 - 6 y 4 + 4 y 3 0 1

Resolvendo os limites de integração:

V = 2 π 12 ⋅ 1 5 5 - 6 ⋅ 1 4 + 4 ⋅ 1 3 - 12 ⋅ 0 5 5 - 6 ⋅ 0 4 + 4 ⋅ 0 3

V = 2 π 12 5 - 6 + 4  

V = 2 π 12 5 - 2 =   2 π 2 5 = 4 π 5 u . v .

Observação: Como pediu o volume e não foi informado uma unidade de medida utilizamos o termo u . v . que significa unidade de volume.

Resposta

4 π 5 u . v .

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