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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 15.7 - Ex. 20

Use a integral tripla para determinar o volume do sólido dado.

O sólido limitado pelo paraboloide x = y 2 + z 2 e pelo plano x = 16

Passo 1

Faaala turma, tudo bem?

Vamos começar compreendendo o enunciado, beleza?

Precisamos encontrar o volume de um sólido usando integrais triplas. Esse solido é limitado pelo paraboloide x = y 2 + z 2 e pelo plano x = 16 .

Tá, mas e agora?

Vamos começar lembrando como é a integral tripla. Ela tem essa cara:

V = ∭ E d V

Onde, E é nossa região de integra��ão e d V = d x d y d z .

Preste bem atenção nas equações dadas:

x = y 2 + z 2

x = 16

Repare que isso é nosso intervalo de integração em x :

y 2 + z 2 ≤ x ≤ 16

Agora precisamos substituir o x de uma expressão na outra, assim vamos ficar com uma expressão de um círculo do tipo:

y 2 + z 2 = 4 2

Logo, vamos trabalhar em coordenadas polares, pois vai facilitar. Em coordenadas polares, temos que:

y = r cos ⁡ θ

z = r   s e n   θ

Onde,

0 ≤ r ≤ 4

0 ≤ θ ≤ 2 π

Lembre-se, sempre começamos integrando de dentro para fora. E montamos nossa integral para primeiro integrar os termos que tem função variando.

Agora ficou bem mastigadinho ein, é só montar a integral tripla e resolver.

Bora lá começar!?

Passo 2

Precisamos calcular o volume que é limitado pelos sólidos:

x = y 2 + z 2

x = 16

Sabemos que:

V = ∭ E d V

d V = d x d y d z

Temos que a variação de x é:

y 2 + z 2 ≤ x ≤ 1 6

E a variação de y e z podemos colocar em coordenadas polares conforme falamos no passo 1, ficando assim:

y = r cos ⁡ θ

z = r sen ⁡ θ

Onde a variação de r e θ é:

0 ≤ r ≤ 4

0 ≤ θ ≤ 2 π

Passo 3

Agora podemos montar a integra tripla, ela vai ficar assim:

V = ∫ 0 2 π ∫ 0 4 ∫ y 2 + z 2 16 1   d x r   d r d θ

Lembre-se, sempre começamos integrando de dentro para fora.

Integrando em d x e aplicando os limites de integração:

V = ∫ 0 2 π ∫ 0 4 16 - y 2 - z 2 r   d r d θ

Como estamos trabalhando em coordenadas polares, devemos substitui y e z por:

y = r cos ⁡ θ

z = r sen ⁡ θ

Vamos ficar com:

V = ∫ 0 2 π ∫ 0 4 16 - r 2 r   d r d θ

Passo 4

Agora vamos integrar em d r .

Vamos ter:

V = ∫ 0 2 π 8 r 2 - r 4 4 0 4 d θ

Aplicando os limites de integração, ficamos com:

V = ∫ 0 2 π 8 ( 4 ) 2 - ( 4 ) 4 4 d θ

Simplificando:

V = ∫ 0 2 π 64 d θ

Agora temos uma integral simples em d θ . Integrando ficamos com:

V = 64 θ 0 2 π

Aplicando os limites de integração:

V = 64 ( 2 π )

Logo, nosso volume é:

V = 128 π

Resposta

V = 128 π

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Escrever na forma de uma integral tripla iterada: ∫ ∫ ∫ T f d V Onde T é delimitada por x 2 + y 2 + z 2 = a 2
Calcular a integral tripla dada sobre a região indicada ∫ ∫ ∫ T z d V Onde T é o solido limitado por z = 0,y = z , y = 2 - x 2 .
Calcular a integral tripla dada sobre a região indicada ∫ ∫ ∫ T d x d y d z x + y + z + 1 2 Sendo T é o solido delimitado pelos planos coordenados e pelo plano x + y + z= 2 .