Determine ∫ 0 3 f ( x , y ) d x e ∫ 0 4 f ( x , y ) d y .

f x , y = y x + 2

Passo 1

E aí, pessoal! Joia?

A questão pede para calcularmos duas integrais:

∫ 0 3 f ( x , y ) d x e ∫ 0 4 f ( x , y ) d y

Da função de duas variáveis:

f x , y = y x + 2

Ou seja, temos que resolver:

∫ 0 3 y x + 2 d x e ∫ 0 4 y x + 2 d y

Então, o precisamos fazer é realizar as duas integrações, tendo em mente que cada uma delas vai ser feita em relação a uma variável, uma vai ser em relação à x e a outra vai ser em relação a y .

Quando integramos em relação a x , trataremos y como constante. Quando integramos em relação a y , trataremos x como constante. Nossos termos d x e d y indicam em qual variável nossa integral deve ser feita.

Vamos entender passo a passo!

Passo 2

Vamos resolver essas integrais. A primeira integral fica o seguinte:

∫ 0 3 y x + 2 d x

Agora estamos integrando só em x , e tratamos nosso y com constante. Resolvendo a integral:

y ∫ 0 3 1 x + 2 d x = y ln ⁡ x + 2 0 3

Substituindo nos limites de integração para x :

∫ 0 3 y x + 2 d x = y ln ⁡ 3 + 2 - y ln ⁡ 0 + 2 = y ln ⁡ 5 - ln ⁡ 2

Passo 3

Agora falta a segunda integral, que vamos integrar em relação a y e tratar x como constante:

∫ 0 4 y x + 2 d y

Essa aqui a gente está integrando em y . Ficamos com:

∫ 0 4 y x + 2 d y = 1 x + 2 y 2 2 0 4

Substituindo os limites de integração em y :

∫ 0 4 y x + 2 d y = 1 x + 2 4 2 2 - 1 x + 2 0 2 2 = 8 x + 2

Resposta

∫ 0 3 y x + 2 d x = y ln ⁡ 5 - ln ⁡ 2

∫ 0 4 y x + 2 d y = 8 x + 2

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados