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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 4.Exercícios Práticos - Ex. 65

Use Lh’ospital o limite underset(x -> 0)(lim) (s e n^2 x)/(t g (x^2))

Passo 1

Sabemos que para usar Lh’oshpital, precisamos deixar nosso limite da forma (0)/(0) ou (oo)/(oo) . Vamos analisar qual a cara do limite que devemos calcular e se ele já está na forma que precisamos.

Usando todas as regras que conhecemos de limite,

underset(x -> 0)(lim) (s e n^2 x)/(t g (x^2)) = (s e n^2 ( 0 ))/(t g (0^2)) = (0)/(0)

Passo 2

Nesse caso, o resultado obtido já está forma que desejamos, então é só aplicar Lh’hospital. Ou seja, vamos derivar o numerador e, em seguida, derivar o denominador. Daí, nosso limite fica

underset(x -> 0)(lim) (s e n^2 x)/(t g (x^2)) = underset(x -> 0)(lim) (2 s e n x c o s x)/(2 x s e c^2 ( x^2 )) = underset(x -> 0)(lim) (s e n x c o s x)/(x s e c^2 ( x^2 ))

Passo 3

Fazendo a substituição do limite,

underset(x -> 0)(lim) (s e n x c o s x)/(x s e c^2 ( x^2 )) = (s e n 0 * c o s 0)/(0 . sec^2 (0^2)) = (0)/(0)

Passo 4

Perceba que temos que usar Lh’hospital mais uma vez, certo ? Então vamos lá.

underset(x -> 0)(lim) (s e n x c o s x)/(x s e c^2 ( x^2 )) = underset(x -> 0)(lim) (c o s x c o s x + s e n x (- s e n x))/(sec^2 x + 2 s e c x ( s e c x * t g x )) = underset(x -> 0)(l i m) (cos^2 x - s e n^2 x)/(sec^2 x + 2 sec^2 x * t g x)

Passo 5

underset(x -> 0)(lim) (cos^2 x - s e n^2 x)/(sec^2 x + 2 sec^2 x * t g x) = (cos^2 (0) - s e n^2 ( 0 ))/(sec^2 (0^2) + 2 sec^2 (0^2) * t g ( 0 )) = (1 - 0)/(1 + 0) = 1

Resposta

underset(x -> 0)(lim) (s e n^2 x)/(t g (x^2)) = 1

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