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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 4.Exercícios Práticos - Ex. 66

Use Lh’ospital o limite underset(x -> 0)(lim) (s e n ( m x ))/(s e n ( n x ))

Passo 1

Sabemos que para usar Lh’oshpital, precisamos deixar nosso limite da forma (0)/(0) ou (oo)/(oo) . Vamos analisar qual a cara do limite que devemos calcular e se ele já está na forma que precisamos.

Usando todas as regras que conhecemos de limite,

underset(x -> 0)(lim) (s e n ( m x ))/(s e n ( n x )) = (s e n (m * 0))/(s e n (m * 0)) = (s e n (0))/(s e n (0)) = (0)/(0)

Passo 2

Nesse caso, o resultado obtido já está forma que desejamos, então é só aplicar Lh’hospital. Ou seja, vamos derivar o numerador e, em seguida, derivar o denominador. Daí, nosso limite fica

underset(x -> 0)(lim) (s e n ( m x ))/(s e n ( n x )) = underset(x -> 0)(lim) (m c o s ( m x ))/(n c o s ( n x )) = (m * cos (m * 0))/(n * cos (n * 0)) = (m)/(n)

Resposta

underset(x -> 0)(lim) (s e n ( m x ))/(s e n ( n x )) = (m)/(n)

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Calculeq) underset(x - + oo)(lim) [(x)/(x^2 + 1)]^x
Calculer) underset(x - 0^+)(lim) [cos (3 x)]^((1)/(s e n (x)) )
Calculeo) underset(x - + oo)(lim) [x - root(3)(x^3 - x)]
Calcules) underset(x - 0^+)(lim) x^(tg x^2)
Sejam f x = x 2 sen ⁡ 1 x e g x = x . Verifique que lim x → 0 ⁡ f x = lim x → 0 ⁡ g x = 0 , lim x → 0 ⁡ f x g x = 0 e que lim x → 0 ⁡ f ' x g ' x não existe. Há alguma contradição com a 1 ª ª regra de