Seja f(x) = |x - 1| . Mostre que não existe c tal que f(3) - f(0) = f'(c) * (3 - 0) . Por que isso não contradiz o Teorema do Valor Médio?

Passo 1

A função que ele nos deu foi a seguinte:

f x = x - 1

Para usarmos o Teorema do Valor Médio temos que verificar se a função f ( x ) é continua e diferenciável no intervalo 0,3 .

Passo 2

Para analisar a continuidade da nossa função, vamos fazer o seguinte:

Se x ≥ 1 :

f x = x - 1

Se x < 1 :

f x = 1 - x

Repare que o único problema que podemos ter é em x = 1 , pois para x diferente de 1 nossa função é continua.

lim x → 1 + ⁡ f x = lim x → 1 + ⁡ x - 1

Logo,

lim x → 1 + ⁡ f x = 1 - 1 = 0

Agora vamos ver como fica para x a vindo pela esquerda.

lim x → 1 - ⁡ f x = lim x → 1 - ⁡ 1 - x

Assim,

lim x → 1 - ⁡ f x = 1 - 1 = 0

Como lim x → 1 + ⁡ f x = lim x → 1 - ⁡ f x isso quer dizer que f é continua em x = 1 . Como já sabemos que ela é continua para x ≠ 1 , então ela será continua em todo seu domínio 😉

Passo 3

Pra finalizar, basta verificarmos se ela é derivável.

Se x < 1 :

f x = 1 - x

Derivando,

f ' x = - 1

Se x ≥ 1 :

f x = x - 1

Derivando,

f ' x = 1

Como as derivadas deram diferentes, isso quer dizer que nossa função não será derivável no ponto x = 1 . Logo, não podemos usar o Teorema do Valor Médio uma vez que nossa função não é diferenciável no intervalo ( 0,3 ) .

Resposta

Como a função não é diferenciável no intervalo 0,3 . Então não podemos usar o Teorema do Valor Médio.

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