Seja f x = x - 1 . Mostre que não existe c tal que f ( 3 ) - f 0 = f ' ( c ) ( 3 - 0 ) . Por que isso não contradiz o Teorema do Valor Médio?

Como a função não é diferenciável no intervalo 0,3 . Então não podemos usar o Teorema do Valor Médio.

Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 4.2 - Ex. 15

Seja . Mostre que não existe tal que . Por que isso não contradiz o Teorema do Valor Médio?

Passo 1

A função que ele nos deu foi a seguinte:

Para usarmos o Teorema do Valor Médio temos que verificar se a função é continua e diferenciável no intervalo .

Passo 2

Para analisar a continuidade da nossa função, vamos fazer o seguinte:

Se :

Repare que o único problema que podemos ter é em , pois para diferente de nossa função é continua.

Logo,

Agora vamos ver como fica para a vindo pela esquerda.

Assim,

Como isso quer dizer que é continua em . Como já sabemos que ela é continua para , então ela será continua em todo seu domínio 😉

Passo 3

Pra finalizar, basta verificarmos se ela é derivável.

Derivando,

Se :

Derivando,

Como as derivadas deram diferentes, isso quer dizer que nossa função não será derivável no ponto . Logo, não podemos usar o Teorema do Valor Médio uma vez que nossa função não é diferenciável no intervalo .

Resposta

Como a função não é diferenciável no intervalo . Então não podemos usar o Teorema do Valor Médio.

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Existe uma função f tal que f 0 = - 1 , f 2 = 4 e f ' ( x ) ≤ 2 para todo x ?

Verifique se a função satisfaz as hipóteses do Teorema do Valor Médio no intervalo dado. Então, encontre todos os números c que satisfaçam a conclusão do Teorema do Valor Médio: f x = e - 2 x ,[ 0,3 ]

Se f 1 = 10 e para f ' ( x ) ≥ 2 para 1 ≤ x ≤ 4 quão pequeno f ( 4 ) pode ser?

Suponha que f e g sejam contínuas em a , b e deriváveis em ( a , b ) . Suponha também que f a = g ( a ) e f ' xg ' ( x ) para axb . Prove que f bg ( b ) . [Sugestão: Aplique o Teorema do Valor Médio p