Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 4.2 - Ex. 15
Seja . Mostre que não existe tal que . Por que isso não contradiz o Teorema do Valor Médio?
Passo 1
A função que ele nos deu foi a seguinte:
Para usarmos o Teorema do Valor Médio temos que verificar se a função é continua e diferenciável no intervalo .
Passo 2
Para analisar a continuidade da nossa função, vamos fazer o seguinte:
Se :
Se :
Repare que o único problema que podemos ter é em , pois para diferente de nossa função é continua.
Logo,
Agora vamos ver como fica para a vindo pela esquerda.
Assim,
Como isso quer dizer que é continua em . Como já sabemos que ela é continua para , então ela será continua em todo seu domínio 😉
Passo 3
Pra finalizar, basta verificarmos se ela é derivável.
Se
Derivando,
Se :
Derivando,
Como as derivadas deram diferentes, isso quer dizer que nossa função não será derivável no ponto . Logo, não podemos usar o Teorema do Valor Médio uma vez que nossa função não é diferenciável no intervalo .
Resposta
Como a função não é diferenciável no intervalo . Então não podemos usar o Teorema do Valor Médio.