Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 4.2 - Ex. 3
Verifique que a função satisfaz as três hipóteses do Teorema de Rolle no intervalo dado. Então, encontre todos os números que satisfazem à conclusão do Teorema de Rolle.
Passo 1
E aí! tudo certinho?
Nesse problema foi dada a função
E nosso objetivo é verificar que essa função satisfaz o Teorema de Rolle no intervalo .
Após a verificação também temos que determinar os valores de que satisfazem o teorema.
Tem ideia de como fazemos isso?
Primeiro vamos lembrar o que é esse teorema de Rolle!
Então vamos verificar se é contínua e derivável no intervalo analisando o domínio de e .
Tambem vamos verificar se e por último, vamos fazer para obter os valores de .
Bora lá!
Passo 2
Se , podemos afirmar que o seu domínio são todos os valores do conjunto dos reais pois é uma função , então admite qualquer valor.
Dessa forma, o quesito do Teorema de Rolle é satisfeito.
Derivando a função pela regra da cadeia, vamos obter
Analisando a função , vemos que pelo mesmo motivo da função , o domínio de tambem são todos os números reais...
Logo, o quesito do Teorema de Rolle foi satisfeito.
O quesito diz que , nesse caso, nosso intervalo de análise é , então temos que verificar se .
Com isso vemos que os três quesitos do Teorema de Rolle são satisfeitos para !
Tranquilo até aqui?
Passo 3
Agora temos que determinar os valores de que satisfazem ...
Igualando e substituindo por , temos
Podemos dividir os dois lados por para eliminar esse termo no lado esquerdo...
resulta em um conjunto de valores dados por , onde são os valores inteiros...
Agora temos que encontrar os valores de que estão dentro do intervalo ...
Para , , e , temos
E esses são os valores de que satisfazem o Teorema de Rolle!
E aí! entendeu tudo? Responde Aí!
Resposta
Satisfaz o teorema de Rolle pois, quando .