Às 2 horas da tarde o velocímetro de um carro mostrava 30 mi/h , e às 2 * h * 10 mostrava 50 mi/h . Mostre que em algum instante entre 2h e 2 * h * 10 a aceleração é exatamente 120 m i / h^2 .

Passo 1

Opa, bora resolver esse problema! Temos um carro em movimento e sabemos que as 2 h sua velocidade era 30   m i / h e as 2 h 10 ela era 50   m i / h .

Queremos provar que entre 2 h e 2 : 10 h a aceleração é:

a = 120 m i / h 2

Precisamos lembrar que a aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo:

a t = d d t v t

A ideia aqui vai ser usar o Teorema do Valor Médio:

f ' c = f b - f a b - a

Onde c é um valor entre b e a . Aplicando pro nosso caso:

a t i = v t 2 - v t 1 t 2 - t 1

Onde t i é um instante de tempo contido no intervalo [ t 1 ,   t 2 ] .

Passo 2

Organizando as informações do enunciado:

Para o instante t 2 :

v 2 = 50   m i / h

t 2 = 2 h 10 = 130 m i n

Para o instante t 1 :

v 1 = 30   m i / h

t 1 = 2 h = 120 m i n

Aplicando na fórmula do Teorema do Valor Médio:

a t i = 50 m i h - 30 m i h 130 m i n - 120 m i n = 20 m i h 10 m i n

Como:

1 0   m i n = 1 6 h

Temos:

a t i = 20 m i h 1 6 h

Fazendo as contas:

a t i = 120   m i / h 2

Portanto, em algum instante entre 2 h e 2 h 10 a aceleração será 120   m i / h 2 .

Resposta

Demonstração.

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