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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 16.4 - Ex. 27

Use o método do Exercício 5 para calcular ∫ C F → ⋅ d r → , onde

F → x , y , z = 2 x y i ^ + y 2 - x 2 j ^ x 2 + y 2 2

E C é qualquer curva fechada simples positivamente orientada que envolve a origem.

Passo 1

Do exercício 5 vem o Teorema de Green.

O Teorema de Green é definido como

∫ C F → ⋅ d r → = ∬ K d Q d x - d P d y d A

Passo 2

Do enunciado tiramos que

P = 2 x y x 2 + y 2 2

e

Q = y 2 - x 2 x 2 + y 2 2

Logo calculando d Q d x e d P d y temos

d P d y = d 2 x y x 2 + y 2 2 d y = 2 x x 2 + y 2 2 - 2 x y 2 x 2 + y 2 2 y x 2 + y 2 4

d P d y = 2 x x 4 + 2 x 2 y 2 + y 4 - 8 x 3 y 2 - 8 x y 4 x 2 + y 2 4 = 2 x 5 + 4 x 3 y 2 + 2 x y 4 - 8 x 3 y 2 - 8 x y 4 x 2 + y 2 4

d P d y = 2 x 5 - 4 x 3 y 2 - 6 x y 4 x 2 + y 2 4

Passo 3

Agora no cálculo de d Q / d x

d Q d x = d y 2 - x 2 x 2 + y 2 2 d x = - 2 x x 2 + y 2 2 - y 2 - x 2 2 x 2 + y 2 2 x x 2 + y 2 4

Pra facilitar, vou reescrever esse pedaço da conta aqui, usando produto da soma pela diferença

y 2 - x 2 x 2 + y 2 = - x 2 - y 2 x 2 + y 2 = - x 4 - y 4

d Q d x = - 2 x x 4 + 2 x 2 y 2 + y 4 - 4 x - x 4 - y 4 x 2 + y 2 4

d Q d x = - 2 x 5 - 4 x 3 y 2 - 2 x y 4 + 4 x 5 - 4 x y 4 x 2 + y 2 4

d Q d x = 2 x 5 - 4 x 3 y 2 - 6 x y 4 x 2 + y 2 4

Passo 4

Aí comparando com d P / d y , temos que

d Q d x = d P d y

Assim

d Q d x - d P d y = 0

Desta forma temos que

∫ C F → ⋅ d r → = 0

Resposta

∫ C F → ⋅ d r → = 0

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