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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 16.4 - Ex. 11

Nos Exercícios 5-14, utilize o teorema de Green para encontrar a circulação em sentido anti-horário e o fluxo exterior para o campo F e a curva C.

F = x 3 y 2 i + 1 2 x 4 y j

Passo 1

Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊

Definimos circulação em sentido anti-horário de F → ao redor do caminho C como sendo ∮   C F ‾ ⋅ T ‾ d s = ∮   C M d x + N d y = ∬ R   ∂ N ∂ x - ∂ M ∂ y d x d y (de acordo com o teorema 5, página 398) e o fluxo exterior de F → = M i ‾ + N j ‾ através de C como sendo a integral dupla do div F → sobre a região R delimitada por C , ∮   C F → ⋅ n ‾ d s = ∮   C M d y - N d x = ∬ R   ∂ M ∂ x + ∂ N ∂ y d x d y (de acordo com o teorema 4, página 397).

Passo 2

Sendo o campo vetorial F → = x 3 y 2 i → + 1 2 x 4 y j → atuando sobre a região limitada por C : x = y , y = x 2 - x , com 0 ≤ x ≤ 2 , x 2 - x ≤ y ≤ x Iniciemos por encontrar M e N : M = x 3 y 2 e N = 1 2 x 4 y Suas derivadas parciais serão: ∂ M ∂ x = 3 x 2 y 2 , ∂ M ∂ y = 2 x 3 y e ∂ N ∂ x = 2 x 3 y , ∂ N ∂ y = 1 2 x 4

Passo 3

Para calcularmos a circulação no sentido anti-horário substituimos ∂ N ∂ x = 2 x 3 y e ∂ M ∂ y = 2 x 3 y em ∬ R   ∂ N ∂ x - ∂ M ∂ y d x d y e resolvemos a integral dupla, como segue:

∬ R   ∂ N ∂ x - ∂ M ∂ y d x d y = ∬ R   2 x 3 y - 2 x 3 y d y d x = 0

Passo 4

Para calcularmos o fluxo exterior substituimos ∂ M ∂ x = 3 x 2 y 2 e ∂ N ∂ y = 1 2 x 4 e m ∬ R   ∂ M ∂ x + ∂ N ∂ y d x d y e resolvemos a integral dupla, como segue:

  ∬ R     ∂ M ∂ x + ∂ N ∂ y d x d y = ∬ R     3 x 2 y 2 + 1 2 x 4 d x d y = ∫ 0 2     ∫ x 2 - x x     3 x 2 y 2 + 1 2 x 4 d y d x   = ∫ 0 2     3 x 5 - 7 2 x 6 + 3 x 7 - x 8 d x = 64 9

Resposta

Assim, a circulação de F → através de C é zero e o fluxo exterior de F → através de C é 64 9 .

Exercícios de Livros Relacionados

Calcule a integral de linha por dois métodos: (a) diretamente e (b) utilizando o Teorema de Green.
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Use o Use o teorema de Green para calcular ∫ C F → ⋅ d r → . (Verifique a orientação da curva antes de aplicar o teorema.) F → x , y = y - cos ⁡ y i → + x sin ⁡ y j → Onde, C é o circulo x - 3 2 + y +
Calcule ∫ C F → ⋅ d r → , onde F → x , y =x 2 + y ,3 x - y 2 e C é a fronteira positivamente orientada de uma região D que tem área 6.