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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 16.4 - Ex. 22

Aplique o teorema de Green para calcular as integrais nos Exercí-

cios 21-24

∮     C ( 3 y d x + 2 x d y )

C : A fronteira de 0 ≤ x ≤ π , 0 ≤ y ≤ s e n ⁡ x .

Passo 1

Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊

Para esta questão vai ser necessário você aplicar o teorema de Green ∮   C F ‾ ⋅ T → d s = ∮   C M d x + N d y = ∬ R   ∂ N ∂ x - ∂ M ∂ y d x d y para calcular a integral ∮   C ( 3 y d x + 2 x d y ) , onde C corresponde a fronteira de 0 ≤ x ≤ π , 0 ≤ y ≤ s e n ⁡ x .

Passo 2

Inicialmente você vai definir M e N : M = 3 y , N = 2 x .Assim, suas derivadas parciais serão: ∂ M ∂ y = 3 , ∂ N ∂ x = 2

Passo 3

Dessa forma, para calcular a integral usando o teorema de Green devemos substituir os valores de ∂ M ∂ y e ∂ N ∂ x em ∬ R   ∂ N ∂ x - ∂ M ∂ y d x d y e resolver a integral dupla, como segue:

∮     C ( 3 y d x + 2 x d y ) = ∬ R     [ 2 - 3 ] d x d y   = ∫ 0 π     ∫ 0 s e n t     ( - 1 ) d y d x = - ∫ 0 π     s e n ⁡ x d x = - 2

Resposta

Assim, você vai concluir corretamente que a integral de F ‾ ao longo de C é - 2 .

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Calcule a integral de linha por dois métodos: a) diretamente e b) utilizando o Teorema de Green. ∮ C x y 2 d x + x 3 d y C é o retângulo com vértices 0,0 , 2,0 , 2,3 e 0,3 .
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