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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 16.4 - Ex. 15

Encontre a circulação em sentido anti-horário e o fluxo exterior do campo F = xyi + y2j ao redor e sobre a fronteira da

região delimitada pelas curvas y = x2 e y = x no primeiro quadrante

Passo 1

Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊

Definimos circulação em sentido anti-horário de F → ao redor do caminho C como sendo ∮   C F → ⋅ T → d s = ∮   C M d x + N d y = ∬ R   ∂ N ∂ x - ∂ M ∂ y d x d y (de acordo com o teorema 5, página 398) e o fluxo exterior de F → = M i → + N j → através de C como sendo a integral dupla do div F → sobre a região R delimitada por C , ∮   C F → ⋅ n ‾ d s = ∮   C M d y - N d x = ∬ R   ∂ M ∂ x + ∂ N ∂ y d x d y (de acordo com o teorema 4, página 397).

Passo 2

Sendo o campo vetorial F → = ( x y ) i → + y 2 j → atuando sobre a região limitada ao primeiro quadrante por C : y = x 2 , y = x .Encontremos M e N : M = x y e N = y 2 Suas derivadas parciais serão: ∂ M ∂ x = y , ∂ M ∂ y = x e ∂ N ∂ x = 0 , ∂ N ∂ y = 2 y

Passo 3

Para calcularmos a circulação no sentido anti-horário substituimos ∂ N ∂ x = 0 e ∂ M ∂ y = x em ∬ R   ∂ N ∂ x - ∂ M ∂ y d x d y e resolvemos a integral dupla, como segue:

∬ R   [ - x ] d x d y = ∫ 0 1   ∫ x 2 x   - x d y d x = ∫ 0 1   - x 2 + x 3 d x = - 1 12

Passo 4

Para calcularmos o fluxo exterior substituimos ∂ M ∂ x = y e ∂ N ∂ y = 2 y em ∬ R   ∂ M ∂ x + ∂ N ∂ y d x d y e resolvemos a integral dupla, como segue:

∬ R   ∂ M ∂ x + ∂ N ∂ y d x d y = ∬ R   [ y + 2 y ] d x d y = ∫ 0 1   ∫ x 2 x   3 y d y d x = ∫ 0 1   3 x 2 2 - 3 x 4 2 d x = 1 5

Resposta

Assim, a circulaçäo de F → através de C é - 1 12 e o fluxo exterior de F → através de C é 1 5 .

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Calcule a integral de linha por dois métodos: (a) diretamente e (b) utilizando o Teorema de Green. ∮ C . x 2 y 2 d x + x y d y C consiste num arco de parábola y = x 2 indo de ( 0,0 ) para ( 1,1 ) e o
Calcule a integral de linha por dois métodos: (a) diretamente e (b) utilizando o Teorema de Green. ∮ C . y 2 d x + x 2 y d y C é o retângulo com os vértices em 0,0 , 5,0 , 5,4e( 0,4 ) .
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Calcule a integral de linha por dois métodos: (a) diretamente e (b) utilizando o Teorema de Green. ∮ C . x y d x + x 2 y 3 d y C é um triângulo com os vértices em 0,0 , 1,0e( 1,2 ) .
Calcule a integral de linha por dois métodos: (a) diretamente e (b) utilizando o Teorema de Green. ∮ C . y 2 d x + x 2 y d y C é o retângulo com os vértices em 0,0 , 5,0 , 5,4e( 0,4 ) .