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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 16.4 - Ex. 25

Utilize a fórmula da área do teorema de Green fornecida acima para encontrar as áreas das regiões delimitadas pelas curvas nos Exercícios 25-28

A circunferência r(t) = (a cos t)i + (a sen t)j, 0 ≤ t ≤ 2p

Passo 1

Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊

Para este exercício já sabemos, pelo enunciado, que a fórmula da área do teorema de Green é dada por A = 1 2 ∮   C x d y - y d x . Vamos utilizar essa fórmula para encontrar a área da região delimitada pela circunferência r → ( t ) = ( a c o s ⁡ t ) i → + ( asent ) j → , com 0 ≤ t ≤ 2 π .

Passo 2

Inicie determinando os valores de M e N em termos do parâmetro t :

M = x = a c o s ⁡ t , N = y = a  sent . 

Em seguida, determine seus respectivos diferenciais: d x = - asent d t , d y = a c o s ⁡ t d t

Passo 3

Agora, utilizando os dados do passo anterior e substituindo os valores de M e N com suas formas diferenciais em A = 1 2 ∮   C x d y - y d x teremos:

A = 1 2 ∮     C x d y - y d x = 1 2 ∫ 0 2 π     a 2 c o s 2 ⁡ t + a 2 s e n 2 ⁡ t d t A = 1 2 ∫ 0 2 π     a 2 d t = π a 2

Resposta

Dessa forma, você encontrará o resultado correto da área da circunferência dada que é π a 2 .

Exercícios de Livros Relacionados

Calcule a integral de linha por dois métodos: (a) diretamente e (b) utilizando o Teorema de Green. ∮ C . y d x - x d y C é uma circunferência com centro na origem e r a i o = 4 .
Use o Teorema de Green para calcular a integral de linha ao longo da curva dada com orientação positiva. ∫ C x 2 + y 2 d x + x 2 - y 2 d y C é um triângulo com os vértices 0,0 , 2,1e0,1 .
Use o Teorema de Green para calcular a integral de linha ao longo da curva dada com orientação positiva. ∫ C y 4 d x + 2 x y 3 d y C é a elipse x 2 + 2 y 2 = 2 .
Uma partícula começa na origem, se move ao longo do eixo x para o ponto ( 5,0 ) , em seguida ao longo do quarto da circunferência x 2 + y 2 = 25 ,x ≥ 0 ,y ≥ 0 para o ponto ( 0,5 ) , e então para baixo
Verifique o Teorema de Green usando um sistema de computação algébrica para calcular tanto a integral de linha como a integral dupla. P x , y = 2 x - x 3 y 5 , Q x , y = x 3 y 8 C é uma elipse 4 x 2 +