Utilize a fórmula da área do teorema de Green fornecida acima para encontrar as áreas das regiões delimitadas pelas curvas nos Exercícios 25-28

A circunferência r(t) = (a cos t)i + (a sen t)j, 0 ≤ t ≤ 2p

Passo 1

Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊

Para este exercício já sabemos, pelo enunciado, que a fórmula da área do teorema de Green é dada por A = 1 2 ∮   C x d y - y d x . Vamos utilizar essa fórmula para encontrar a área da região delimitada pela circunferência r → ( t ) = ( a c o s ⁡ t ) i → + ( asent ) j → , com 0 ≤ t ≤ 2 π .

Passo 2

Inicie determinando os valores de M e N em termos do parâmetro t :

M = x = a c o s ⁡ t , N = y = a  sent . 

Em seguida, determine seus respectivos diferenciais: d x = - asent d t , d y = a c o s ⁡ t d t

Passo 3

Agora, utilizando os dados do passo anterior e substituindo os valores de M e N com suas formas diferenciais em A = 1 2 ∮   C x d y - y d x teremos:

A = 1 2 ∮     C x d y - y d x = 1 2 ∫ 0 2 π     a 2 c o s 2 ⁡ t + a 2 s e n 2 ⁡ t d t A = 1 2 ∫ 0 2 π     a 2 d t = π a 2

Resposta

Dessa forma, você encontrará o resultado correto da área da circunferência dada que é π a 2 .

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