Enunciado
Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 4.7 - Ex. 31
Use o Método de Newton para aproximar as coordenadas do ponto sobre a parábola mais próximo do ponto .
Passo 1
Fala aí! Tudo joia?
Esse aqui tá diferente dos outros porque envolve outro conceito: distância entre pontos.
A distância de um ponto da parábola ao ponto é o seguinte:
Como a gente quer o ponto mais próximo, a gente quer o mínimo dessa função.
Pra facilitar a gente pode fazer o mínimo de . Bora lá então...
Passo 2
Pra achar o mínimo a gente tem que derivar a função:
A gente precisa de um ponto em que isso seja:
Agora é que entra o método de Newton. A gente vai fazer .
Passo 3
Para usar o método de Newton, a gente faz:
Onde a nossa e
Jogando na fórmula então:
Tá tendo pouca variação, então vamos parar por aqui. Esse é um ponto onde zera.
Passo 4
Vamos verificar se é ponto de mínimo pelo teste da derivada segunda:
Ou seja, é ponto de mínimo!
Só falta achar a coordenada dele.
O ponto está sobre a parábola , então é só a gente fazer:
O ponto pedido então é: . 😸