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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 3.2 - Ex. 55

Encontre o limite dado interpretando a expressão como uma derivada apropriada:

(a)   lim x → 0 ⁡ l n ⁡ ( c o s ⁡ ( x ) ) x

(b) lim h → 0 ⁡ 1 + h 2 - 1 h

Passo 1

Por definição, a derivada trata-se de um limite, e pode ser dada pela seguinte fórmula:

lim x → 0 ⁡ f ⁡ t + x - f t x

No caso desse exercício, vamos separar o nosso limite em uma função, e calcular a derivada dessa função, e será exatamente a mesma coisa que calcular o limite naquele ponto (o ponto de tendência do limite).

Como fazemos isso?

Separando o limite assim:

lim x → 0 ⁡ f ⁡ t + x - f t x = f ' ( x + t )

Agora, podemos calcular as derivadas.

Passo 2

  1. lim x → 0 ⁡ l n ⁡ ( c o s ⁡ ( x ) ) x

    2. Vamos chamar t = c o s ⁡ ( x ) e x = 0 .

    Então, sabemos que f x + t = ln ⁡ cos ⁡ x e f t = ln cos 0 = l n ⁡ 1 = 0 .

    Aplicando o limite:

    lim x → 0 ⁡ f ⁡ t + x - f t x = lim x → 0 ⁡ ln ⁡ cos ⁡ 0 + x - ln ⁡ 1 x

    Como f x + t = ln ⁡ ( cos ⁡ x , sua derivada será:

    f ' x + t = 1 cos ⁡ x . - s e n x = - t g ( x )

    Aplicando a derivada em x → 0

    f ' 0 = - t g x = 0

    Então, podemos dizer que:

    lim x → 0 ⁡ ln ⁡ cos ⁡ 0 + x - ln ⁡ 1 x = f ' ( 0 ) = 0

    Passo 3

  2. lim h → 0 ⁡ 1 + h 2 - 1 h

Vamos chamar t = h e x = 1 + h .

Então, sabemos que f x + t = x 2 e f t = f 1 = 1 2 = 1 .

Aplicando o limite:

lim x → 0 ⁡ f ⁡ t + x - f t x = lim h → 0 ⁡ 1 + h 2 - 1 h

Como f x + t = x 2 sua derivada será:

f ' x + t = 2 x 2 - 1

Aplicando a derivada em x → 0

Não podemos aplicar o valor da derivada em 0, pois zera automaticamente.

f ' 1 = 2

Então, podemos dizer que:

lim h → 0 ⁡ 1 + h 2 - 1 h = f ' 1 = 2

Resposta

(a)     lim x → 0 ⁡ ln ⁡ cos ⁡ 0 + x - ln ⁡ 1 x = f ' ( 0 ) = 0

(b)       lim h → 0 ⁡ 1 + h 2 - 1 h = f ' 1 = 2

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