Enunciado
Cálculo - James Stewart - Vol 1- Ed: 8º - Capítulo 4.8 - Ex. 11
Use o método de Newton para aproximar o numero dado para oito casas decimais.
Passo 1
Oieee, bora pra mais uma questãozinha?
Cara, aqui eu tenho que aproximar o número dado com oito casas decimais:
E para isso, vamos usar o método de Newton.
O método de Newton é usado para encontrar raízes de funções, isso é, o valor de onde
Ele é um método iterativo, onde a partir de um chute inicial , encontramos novos valores fazendo:
O primeiro passo aqui vai ser escrever esse número como sendo uma função que zera para aplicarmos o método. Além de procurarmos por uma boa estimativa inicial .
Passo 2
Precisamos encontrar a função para o número dado. Podemos seguir a seguinte estratégia.
Queremos encontrar um número onde
Elevando a quarta temos:
Temos a função que queremos encontrar a raiz!
Passo 3
Para usar o método vamos precisar de sua derivada:
Usando a regra da potência de temos:
Para estimar a aproximação inicial , vamos ver qual raiz quarta inteira mais proxima de 75. Veja que:
Portanto, é razoavel usar como primeiro valor.
Vamos agora aplicar o método:
Sendo
Aplicando o método:
Passo 4
Vamos agora repetir o passo anterior para encontrar
Aplicando o método:
Passo 5
Vamos agora repetir o passo anterior para encontrar
Aplicando o método:
Ao substituir em , encontramos um valor muito próximo de zero: -0,000046. Portanto, esta já é uma aproximação muito boa.