Enunciado
Cálculo - James Stewart - Vol 1- Ed: 8º - Capítulo 4.8 - Ex. 22
22. Use o método de Newton para encontrar todas as raízes da equação com precisão de seis casas decimais.
Passo 1
Fala aí, tudo bem com você?
Bom, essa questão é bem direta ao ponto!
Ela pede pra gente usar o método de Newton para encontrar, com precisão de seis casas decimais, a raiz de
E para isso, vamos relembrar o que é esse tal método de Newton.
Nele vamos considerar uma reta tangente à curva da função no ponto .
Depois devemos procurar a interseção de como o eixo , que será chamada de e verificar o quão próximo está da interseção da curva com o eixo .
Para encontrar , podemos fazer:
Depois, repetimos o processo, usando como uma segunda aproximação, fazendo:
E podemos repetir o processo quantas vezes for necessário. De modo geral, fazendo
E se ficar cada vez mais próxima da raiz de nossa curva à medida que cresce, fizemos que a sequência converge para .
Assim:
Perfeito. Então vamos usar essa ideia para encontrar o que o exercício pediu.
Passo 2
Nossa equação é a seguinte:
Antes de começar vamos esboçar um gráfico.
E vamos considerar a seguinte função:
Pois resolver é a mesma coisa que resolver
Passo 3
Agora é só usar aquela formula da teoria:
Lá do Passo 1:
Derivando, usando a regra da cadeia, e a derivação tabelada da tangente, teremos:
Arrumando as coisas, temos:
Olhando o gráfico, podemos ver que é interessante pegar os seguintes pontos:
Passo 4
Vamos usar que :
Fazendo as contas:
Para achar os próximos o processo é análogo. Logo,
Para :
Para :
Para :
Opa, como deu igual já podemos parar. Pois nos aproximamos o suficiente da raiz. Logo, a raiz aproximada de seis casas decimais será
Resposta
A raiz aproximada de seis casas decimais será