Enunciado

Use o método de Newton para encontrar todas as raízes da equação com precisão de oito casas decimais. Comece fazendo um gráfico para encontrar a aproximação inicial.

e arctg ⁡ x = x 3 + 1

Passo 1

Vamos lá aplicar o método de Newton, para isso vamos usar sua fórmula:

x n + 1 = x n - f x n f ' x n

Primeiro temos que f x = e arctg ⁡ x - x 3 + 1

Vamos agora precisar de f ' x , vamos calcular então!!

Passo 2

Para achar a derivada de f vamos usar algumas regras de derivação, da função trigonométrica, da função constante, da função exponencial e do polinômio:

arctg ⁡ x ' = 1 1 + x 2

c ' = 0

e f x ' = e f x . f ' ( x )

x n ' = n x n - 1

Vamos calcular f ' x :

f ' x = e arctg ⁡ x - x 3 + 1 ' = e arctg ⁡ x - x 3 + 1 1 2 ' = e arctg ⁡ x 1 1 + x 2 - 1 2 x 3 + 1 1 2 - 1 3 x 3 - 1 + 0 = e arctg ⁡ x 1 + x 2 - 3 x 2 2 x 3 + 1

Passo 3

Pronto, agora que temos f ' x é só jogar na fórmula de Newton:

x n + 1 = x n - f x n f ' x n → x n + 1 = x n - e arctg ⁡ x n - x n 3 + 1 e arctg ⁡ x n 1 + x n 2 - 3 x n 2 2 x n 3 + 1

Vamos agora analisar qual valor usar para x 1 , pelo gráfico abaixo parace ter pontos de intersecção em x = - 0,9 e x = 2 , pronto, agora é só substituir, vamos lá então:

Primeiro para x 1 = - 0,9 :

x 1 + 1 = x 2 = x 1 - e arctg ⁡ x 1 - x 1 3 + 1 e arctg ⁡ x 1 1 + x 1 2 - 3 x 1 2 2 x 1 3 + 1 ≈ - 0,91934894

Como queremos uma precisão de seis casas decimais, vamos continuar usando o método de Newton até o valor de x n deixar de variar, vamos lá:

x 2 + 1 = x 3 = x 2 - e arctg ⁡ x 2 - x 2 3 + 1 e arctg ⁡ x 2 1 + x 2 2 - 3 x 2 2 2 x 2 3 + 1 ≈ - 0,91798835

Mais uma vez, agora com x 4 :

x 3 + 1 = x 4 = x 3 - e arctg ⁡ x 3 - x 3 3 + 1 e arctg ⁡ x 3 1 + x 3 2 - 3 x 3 2 2 x 3 3 + 1 ≈ - 0,91798012

Agora com x 5 :

x 4 + 1 = x 5 = x 4 - e arctg ⁡ x 4 - x 4 3 + 1 e arctg ⁡ x 4 1 + x 4 2 - 3 x 4 2 2 x 4 3 + 1 ≈ - 0,91798012

Pronto, o valor não varia mais, então a raiz é - 0,91798012 .

Passo 4

Agora com x 1 = 2 , sei que é cansativo mas vamos lá:

x 1 + 1 = x 2 = x 1 - e arctg ⁡ x 1 - x 1 3 + 1 e arctg ⁡ x 1 1 + x 1 2 - 3 x 1 2 2 x 1 3 + 1 ≈ 2,01843839

Como queremos uma precisão de seis casas decimais, vamos continuar usando o método de Newton até o valor de x n deixar de variar, vamos lá:

x 2 + 1 = x 3 = x 2 - e arctg ⁡ x 2 - x 2 3 + 1 e arctg ⁡ x 2 1 + x 2 2 - 3 x 2 2 2 x 2 3 + 1 ≈ 2,01831502

Mais uma vez, agora com x 4 :

x 3 + 1 = x 4 = x 3 - e arctg ⁡ x 3 - x 3 3 + 1 e arctg ⁡ x 3 1 + x 3 2 - 3 x 3 2 2 x 3 3 + 1 ≈ 2,01831501

Agora com x 5 :

x 4 + 1 = x 5 = x 4 - e arctg ⁡ x 4 - x 4 3 + 1 e arctg ⁡ x 4 1 + x 4 2 - 3 x 4 2 2 x 4 3 + 1 ≈ 2,01831501

Pronto, o valor não varia mais, então a raiz é 2,01831501 .

Resposta

As raizes da equação são - 0,91798012 e 2,01831501 .

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Ache as assíntotas horizontal e vertical do gráfico de f , determinando o seguinte:Os extremos relativos de f ;Os pontos de inflexão do gráfico de f ;Os intervalos em que f é crescenteOs intervalos em
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