Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 4.4 - Ex. 13
Encontre o limite. Use a Regra de L'Hôspital quando for apropriado. Se existir um método mais elementar, use-o. Se a Regra de L'Hôspital não for aplicável, explique por quê.
Passo 1
Falaaaa moçadinha, show de bola?
Como diz o Homem de ferro “Eu tenho um plano. Ataque!”
Bora atacar esse problemaaaaaaa junto comigoo.
A questão pede para encontrar o limite da função
Quando se aproxima de pela direita (ou seja, valores ligeiramente maiores que ).
Para resolver este tipo de limite, podemos usar a Regra de L'Hôpital, que é útil quando temos uma indeterminação do tipo ou ,.
A Regra de L'Hôpital diz que:
Desde que o limite do lado direito exista.
Passo 2
Vamos analisar o limite dado:
Quando se aproxima de pela direita:
- se aproxima de .
- se aproxima de portanto se aproxima de
Temos então uma indeterminação do tipo , o que nos permite aplicar a Regra de L'Hôpital.
Passo 3
Vamos aplicar a Regra de L'Hôpital:
Derivamos o numerador
Derivamos o denominador
Agora, aplicamos a Regra de L'Hôpital:
Simplificamos:
A razão
é a tangente de
Passo 4
Quando se aproxima de pela direita, a tangente de tende para
Portanto, o limite é:
Conclusão
O limite
é .
Utilizamos a Regra de L'Hôpital porque inicialmente tínhamos uma indeterminação do tipo .
Após aplicar a regra, descobrimos que o limite tende a menos infinito.
“Às vezes é preciso aprender a correr antes de começar a andar”
