Encontre o limite. Use a Regra de L'Hôspital quando for apropriado. Se existir um método mais elementar, use-o. Se a Regra de L'Hôspital não for aplicável, explique por quê.

lim x → π 2 + ⁡ cos ⁡ x 1 - sin ⁡ x

Passo 1

Falaaaa moçadinha, show de bola?

Como diz o Homem de ferro “Eu tenho um plano. Ataque!”

Bora atacar esse problemaaaaaaa junto comigoo.

A questão pede para encontrar o limite da função

lim x → π 2 + ⁡ cos ⁡ x 1 - sin ⁡ x

Quando x se aproxima de π / 2 pela direita (ou seja, valores ligeiramente maiores que π / 2 ).

Para resolver este tipo de limite, podemos usar a Regra de L'Hôpital, que é útil quando temos uma indeterminação do tipo 0 / 0   ou ∞ / ∞ ,.

A Regra de L'Hôpital diz que:

lim x → c ⁡ f x g x =   lim x → c ⁡ f ' x g ' x

Desde que o limite do lado direito exista.

Passo 2

Vamos analisar o limite dado:

lim x → π 2 + ⁡ cos ⁡ x 1 - sin ⁡ x

Quando x se aproxima de π / 2 pela direita:

- cos ⁡ ( x ) se aproxima de 0 .

- sin ⁡ x se aproxima de 1 , portanto ( 1 - s i n   x ) se aproxima de 0 .

Temos então uma indeterminação do tipo 0 / 0 , o que nos permite aplicar a Regra de L'Hôpital.

Passo 3

Vamos aplicar a Regra de L'Hôpital:

Derivamos o numerador cos ⁡ ( x ) :

d d x   cos ⁡ x = - sin ⁡ ( x )

Derivamos o denominador ( 1   -   s i n   x ) :

d d x   ( 1   -   s i n   x ) = - cos ⁡ ( x )

Agora, aplicamos a Regra de L'Hôpital:

lim x → π 2 + ⁡ cos ⁡ x 1 - sin ⁡ x

lim x → π 2 + ⁡ - sin ⁡ x - cos ⁡ x

Simplificamos:

lim x → π 2 + ⁡ - sin ⁡ x - cos ⁡ x

lim x → π 2 + ⁡ sin ⁡ x cos ⁡ x

A razão

sin ⁡ x cos ⁡ x

é a tangente de x :

lim x → π 2 + ⁡ tan ⁡ ( x )

Passo 4

Quando x se aproxima de π / 2 pela direita, a tangente de x tende para ∞ :

lim x → π 2 + ⁡ tan ⁡ ( x ) = - ∞

Portanto, o limite é:

lim x → π 2 + ⁡ cos ⁡ x 1 - sin ⁡ x = - ∞

Conclusão

O limite

lim x → π 2 + ⁡ cos ⁡ x 1 - sin ⁡ x = - ∞

é .

Utilizamos a Regra de L'Hôpital porque inicialmente tínhamos uma indeterminação do tipo 0 / 0 .

Após aplicar a regra, descobrimos que o limite tende a menos infinito.

“Às vezes é preciso aprender a correr antes de começar a andar”

Resposta

lim x → π 2 + ⁡ cos ⁡ x 1 - sin ⁡ x = - ∞

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