Enunciado

Use o método de Newton para encontrar todas as raízes da equação com precisão de seis casas decimais.

x - 2 2 = ln ⁡ x

Passo 1

Falaeee, belezinha? Bom... a questão quer que apliquemos o método de Newton para encontrar todas as raízes da seguinte equação com precisão de seis casas decimais:

x - 2 2 = ln ⁡ x

Mas que método é esse?

Então... esse método é dado pela seguinte fórmula:

x n + 1 = x n - f x n f ' x n

Onde temos que

f x = x - 2 2 - ln ⁡ x

Vamos agora precisar de f ' x , vamos calcular então!! 😉

Passo 2

Para achar a derivada de f vamos usar algumas regras de derivação, o da função constante, da cadeia, da função logaritmica e do polinômio:

c ' = 0

F ' x = f ' g x ⋅ g ' x

ln ⁡ f x ' = f ' ( x ) f ( x )

x n ' = n x n - 1

Vamos calcular f ' x :

f ' x = x - 2 2 - ln ⁡ x '

Vamos aplicar aqui então a regra da cadeia, iremos derivar a função u 2 e depois derivar quem chamamos de u = x - 2 :

f ' x = 2 x - 2 2 - 1 ⋅ x - 2 ' - 1 x

f ' x = 2 x - 2 x 1 - 1 - 0 - 1 x

f ' x = 2 x - 2 - 1 x

Passo 3

Pronto, agora que temos f ' x é só jogar na fórmula de Newton:

x n + 1 = x n - f x n f ' x n

f x = x - 2 2 - ln ⁡ x

f ' x = 2 x - 2 - 1 x

x n + 1 = x n - x n - 2 2 - ln ⁡ x n 2 x n - 2 - 1 x n

Vamos agora analisar qual valor usar para x 1 , pelo gráfico abaixo parace ter pontos de intersecção em x = 1,5 e x = 3 .

Mas veja, podemos utilizar nosso x 1 como qualquer valor, QUALQUER, mas é interessante analisar a função para que o nosso x 1 seja o mais próximo possível da raiz.

O gráfico é uma forma de nos ajudar a ser mais rápido, a gente plotou o gráfico utilizando o Desmos aqui para sermos práticos, você poderia ter feito um esboço rápido do gráfico para encontrar uma boa opção para o seu x 1 .

pronto, agora é só substituir, vamos lá então:

Assim, vamos fazer primeiro para x = 1,5 e depois para x = 3 .

Passo 4

Primeiro para x 1 = 1,5 :

x 1 + 1 = x 2 = x 1 - x 1 - 2 2 - ln ⁡ x 1 2 x 1 - 2 - 1 x 1

x 2 = 1,5 - 1,5 - 2 2 - ln ⁡ 1,5 2 1,5 - 2 - 1 1,5

x 2 ≈ 1,406721

Como queremos uma precisão de seis casas decimais, vamos continuar usando o método de Newton até o valor de x n deixar de variar, vamos lá:

x 2 + 1 = x 3 = x 2 - x 2 - 2 2 - ln ⁡ x 2 2 x 2 - 2 - 1 x 2

x 3 = 1,406721 - 1,406721 - 2 2 - ln ⁡ 1,406721 2 1,406721 - 2 - 1 1,406721

x 3 ≈ 1,412370

Mais uma vez, agora com x 4 :

x 3 + 1 = x 4 = x 3 - x 3 - 2 2 - ln ⁡ x 3 2 x 3 - 2 - 1 x 3

x 4 = 1,412370 - 1,412370 - 2 2 - ln ⁡ 1,412370 2 1,412370 - 2 - 1 1,412370

x 4 ≈ 1,412391

Vamos lá, uma hora acaba, agora x 5 :

x 4 + 1 = x 5 = x 4 - x 4 - 2 2 - ln ⁡ x 4 2 x 4 - 2 - 1 x 4

x 5 = 1,412391 - 1,412391 - 2 2 - ln ⁡ 1,412391 2 1,412391 - 2 - 1 1,412391

x 5 ≈ 1,412391

Pronto, o valor não varia mais, então a raiz é 1,412391 .

Passo 5

Agora com x 1 = 3 , sei que é cansativo mas vamos lá:

x 1 + 1 = x 2 = x 1 - x 1 - 2 2 - ln ⁡ x 1 2 x 1 - 2 - 1 x 1

x 2 = 3 - 3 - 2 2 - ln ⁡ 3 2 3 - 2 - 1 3

x 2 ≈ 3,059167

Como queremos uma precisão de seis casas decimais, vamos continuar usando o método de Newton até o valor de x n deixar de variar, vamos lá:

x 2 + 1 = x 3 = x 2 - x 2 - 2 2 - ln ⁡ x 2 2 x 2 - 2 - 1 x 2

x 3 = 3,059167 - 3,059167 - 2 2 - ln ⁡ 3,059167 2 3,059167 - 2 - 1 3,059167

x 3 ≈ 3,057106

Mais uma vez, agora com x 4 :

x 3 + 1 = x 4 = x 3 - x 3 - 2 2 - ln ⁡ x 3 2 x 3 - 2 - 1 x 3

x 4 = 3,057106 - 3,057106 - 2 2 - ln ⁡ 3,057106 2 3,057106 - 2 - 1 3,057106

x 4 ≈ 3,057104

Vamos lá, uma hora acaba, agora x 5 :

x 4 + 1 = x 5 = x 4 - x 4 - 2 2 - ln ⁡ x 4 2 x 4 - 2 - 1 x 4

x 5 = 3,057104 - 3,057104 - 2 2 - ln ⁡ 3,057104 2 3,057104 - 2 - 1 3,057104

x 5 ≈ 3,057104

Pronto, o valor não varia mais, então a raiz é 3,057104 .

Resposta

As raizes da equação são 3,057104 e 1,220744 .

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Calcule f^' (x) .f (x) = pi^x
Calcule f^' (x) .f (x) = 5^2
Calcule f^' (x) .f (x) = 2^x
Determine a equação da reta tangente ao gráfico de f x = ln ⁡ x no ponto de abscissa 1 . Esboce os gráficos de f e da reta tangente.
Calcule g^' (x) g (x) = log_3 x