Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 4.8 - Ex. 19
Use o método de Newton para encontrar todas as raízes da equação com precisão de seis casas decimais.
Passo 1
Falaeee, belezinha? Bom... a questão quer que apliquemos o método de Newton para encontrar todas as raízes da seguinte equação com precisão de seis casas decimais:
Mas que método é esse?
Então... esse método é dado pela seguinte fórmula:
Onde temos que
Vamos agora precisar de , vamos calcular então!! 😉
Passo 2
Para achar a derivada de vamos usar algumas regras de derivação, o da função constante, da cadeia, da função logaritmica e do polinômio:
Vamos calcular :
Vamos aplicar aqui então a regra da cadeia, iremos derivar a função e depois derivar quem chamamos de :
Passo 3
Pronto, agora que temos é só jogar na fórmula de Newton:
Vamos agora analisar qual valor usar para , pelo gráfico abaixo parace ter pontos de intersecção em e .
Mas veja, podemos utilizar nosso como qualquer valor, QUALQUER, mas é interessante analisar a função para que o nosso seja o mais próximo possível da raiz.
O gráfico é uma forma de nos ajudar a ser mais rápido, a gente plotou o gráfico utilizando o Desmos aqui para sermos práticos, você poderia ter feito um esboço rápido do gráfico para encontrar uma boa opção para o seu .
pronto, agora é só substituir, vamos lá então:
Assim, vamos fazer primeiro para e depois para .
Passo 4
Primeiro para :
Como queremos uma precisão de seis casas decimais, vamos continuar usando o método de Newton até o valor de deixar de variar, vamos lá:
Mais uma vez, agora com :
Vamos lá, uma hora acaba, agora :
Pronto, o valor não varia mais, então a raiz é .
Passo 5
Agora com , sei que é cansativo mas vamos lá:
Como queremos uma precisão de seis casas decimais, vamos continuar usando o método de Newton até o valor de deixar de variar, vamos lá:
Mais uma vez, agora com :
Vamos lá, uma hora acaba, agora :
Pronto, o valor não varia mais, então a raiz é .
Resposta
As raizes da equação são e .