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Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 3.4 - Ex. 33

Use o método do Problema 32 para encontrar uma segunda solução independente da equação dada.

Passo 1

Oi oi, meu xuxuzinho!! Tudo bem com você?? Vamos analisar o que a nossa questão nos pede e matar essa em 10 minutos?? Bora. Bom, nosso enunciado nos pede para encontrarmos a solução para a equação. Parece muita coisa, mas é tranquilo. Partiu??

Passo 2

Ok, nosso primeiro passo vai ser pensar que, por ser linear e homogênea, teremos a solução no seguinte formato:

y 1 y 2 ' ' - y 1 ' ' y 2 + p ( t ) y 1 y 2 ' -   y 1 ' y 2 = 0

W   y 1 , y 2 = y 1 y 2 ' -   y 1 ' y 2

W '   y 1 , y 2 = y 1 y 2 ' ' - y 1 ' ' y 2

y ' ' + 3 t y ' + 1 t 2 y = 0

Passo 3

Pronto!! Agora é só substituir os valores e achar a solução!!

W ' + p ( t ) W = 0

d d t ln ⁡ W =   - p ( t )

W t = exp ⁡ - ∫ p s d s

y 1 y 2 ' -   y 1 ' y 2 = exp ⁡ - ∫ p s d s

I = 1 y 1 t  

y 2 t = y 1 t ∫ 1 y 1 r 2 exp ⁡ - ∫ p s d s d r  

y 2 t = t - 1 ln ⁡ t

Resposta

y 2 t = t - 1 ln ⁡ t

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Use a substituição introduzida no Problema 34 da Seção 3.3 para resolver a equação diferencial dada.
Use a substituição introduzida no Problema 34 da Seção 3.3 para resolver a equação diferencial dada.
Nos problemas 1-30, encontre uma segunda solução para cada equação diferencial. Use redução de ordem ou a fórmula (4) como ensinada. Suponha um intervalo apropriado. y ' ' - y = 0 ;y 1 = cosh ⁡ x
Nos problemas 1-30, encontre uma segunda solução para cada equação diferencial. Use redução de ordem ou a fórmula (4) como ensinada. Suponha um intervalo apropriado. y ' ' + 16 y = 0 ; y 1 = cos ⁡ 4 x
Nos problemas 1-30, encontre uma segunda solução para cada equação diferencial. Use redução de ordem ou a fórmula (4) como ensinada. Suponha um intervalo apropriado. y ' ' - y ' = 0 ; y 1 = 1