Use a Parte 1 do Teorema Fundamental do Cálculo para achar a derivada da função.

F x = ∫ x 10 tg ⁡ θ d θ

Passo 1

A primeira parte do Teorema Fundamental do Cálculo diz que se temos uma função f contínua em um intervalo [ a ,   b ] e tivermos uma função g definida por:

g x = ∫ a x f t d t

No intervalo a ,   b , então a função g tem derivada pro intervalo ( a ,   b ) e ela é igual a:

g ' x = f ( x )

Nesse caso, ao invés de uma função g usamos a letra F , e ao invés de t usamos θ , mas a resolução é a mesma. Usando o Teorema, acharemos então a derivada da função.

Passo 2

Como podemos ver, os limites de integração estão trocados (o x devia estar em cima!), então invertemos os números e multiplicamos a integral por menos 1:

∫ x 10 tg ⁡ θ d θ = - ∫ 10 x tg ⁡ θ d θ

A nossa função F é:

F x = - ∫ 10 x tg ⁡ θ d θ = - ∫ 10 x f θ d θ

Então pelo Teorema a derivada fica:

F ' x = - f x = - tg ⁡ x

Resposta

F ' x = - tg ⁡ x

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