Enunciado

Use a Parte 2 do Teorema Fundamental do Cálculo para calcular a integral, ou explique por que ela não existe.

∫ 2 8 ( 4 x + 3 ) d x

Passo 1

E aí! como vai?

Nesse problema foi dada a integral

∫ 2 8 ( 4 x + 3 ) d x

E nosso objetivo é resolve-la ou explicar porque ela não existe usando a parte 2 do TFC.

Parece complicado?

A Parte 2 do Teorema fundamental do Cálculo diz que se temos uma função f ( x ) contínua num intervalo [ a ,   b ] , e conhecemos uma antiderivada F ( x ) da função, podemos calcular a integral no intervalo da seguinte maneira:

∫ a b f x d x = F b - F ( a )

Analisando a função da integral, vemos que se trata de uma função polinomial, então para calcular sua antiderivada, podemos aplicar a regra inversa da regra da potência.

f x = x n ⇒ F x = x n + 1 n + 1 + C           s e   n ≠ - 1

Sacou? Bora começar!

Passo 2

Vamos começar calculando a antiderivada de f x ...

f x = 4 x + 3 → F x = 4 x 2 2 + 3 x + C

F x = 2 x 2 + 3 x + C

Aplicando então o TFC:

∫ 2 8 ( 4 x + 3 ) d x = F 8 - F 2 = 2 ⋅ 8 2 + 3 ⋅ 8 + C - ( 2 ⋅ 2 2 + 3 ⋅ 2 + C )

∫ 2 8 4 x + 3 d x = 128 + 24 + C - 8 + 6 + C

Perceba que sempre as constantes C vão se cancelar, por isso não aparecem no resultado final.

∫ 2 8 ( 4 x + 3 ) d x = 138

E aí! entendeu tudo? Responde Aí!

Resposta

∫ 2 8 ( 4 x + 3 ) d x = 138

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