Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 5.3 - Ex. 15
Use a Parte 1 do Teorema Fundamental do Cálculo para achar a derivada da função.
Passo 1
Opa! Vamos resolver esse exercício?
Aqui temos que aplicar o TFC (teorema fundamental do cálculo) para encontrar a derivada dessa função:
Mas como faremos isso?
O teorema diz que se você primeiro integra uma função contínua e depois diferencia o resultado (ou vice-versa), você volta à função original. É tipo um passe de mágica matemático! ✨
A primeira parte do Teorema Fundamental do Cálculo diz que se temos uma função contínua em um intervalo e tivermos uma função definida por:
No intervalo então a função tem derivada pro intervalo e ela é igual a:
Usando diretamente o Teorema, acharemos então a derivada da função.
Resumindo, quando temos uma derivada de uma integral, ela é a função que está dentro da integral avaliada para o limite superior (que deve ser uma função ou uma variável), e se for uma função, temos que substituir ela no e aplicar a regra da cadeia da derivada!
Vem comigo que vai dar certo!
Passo 2
Usando o Teorema, se tratarmos primeiro como a variável, derivamos assim:
Agora, pra completar a regra da cadeia:
Para ficar mais fácil de lembrar: a derivada de fora vezes a derivada de dentro.
Agora vamos terminar a nossa derivada, então multiplicamos pela derivada de em relação a :
Regra geral:
Agora basta aplicarmos na nossa derivada:
Entendeu tudinho? Responde Aí! ☺