Enunciado

7 - 18 Use a Parte 1 do Teorema Fundamental do Cálculo para achar a derivada da função.

15 .   ∫ 3 x cos ⁡ t   t d t

Passo 1

Opa! Vamos resolver esse exercício?

Aqui temos que aplicar o TFC (teorema fundamental do cálculo) para encontrar a derivada dessa função:

∫ 3 x cos ⁡ t   t d t

Mas como faremos isso?

O teorema diz que se você primeiro integra uma função contínua e depois diferencia o resultado (ou vice-versa), você volta à função original. É tipo um passe de mágica matemático! ✨

A primeira parte do Teorema Fundamental do Cálculo diz que se temos uma função f contínua em um intervalo [ a ,   b ] e tivermos uma função g definida por:

g x = ∫ a x f t d t

No intervalo a ,   b , então a função g tem derivada pro intervalo ( a ,   b ) e ela é igual a:

g ' x = f ( x )

Usando diretamente o Teorema, acharemos então a derivada da função.

Resumindo, quando temos uma derivada de uma integral, ela é a função que está dentro da integral avaliada para o limite superior (que deve ser uma função ou uma variável), e se for uma função, temos que substituir ela no x e aplicar a regra da cadeia da derivada!

Vem comigo que vai dar certo!

Passo 2

Usando o Teorema, se tratarmos primeiro x como a variável, derivamos assim:

∫ 3 x cos ⁡ t   t d t ' = c o s   x   x ⋅ x '

Agora, pra completar a regra da cadeia:

f g x ' = f g x ' ⋅ g x '

Para ficar mais fácil de lembrar: a derivada de fora vezes a derivada de dentro.

Agora vamos terminar a nossa derivada, então multiplicamos pela derivada de x em relação a x :

Regra geral:

x n ' = n ⋅ x n - 1

x ' = x 1 2 ' = 1 2 ⋅ x - 1 2 = 1 2 x

Agora basta aplicarmos na nossa derivada:

∫ 3 x c o s c o s   t   t d t = c o s c o s   x   x ⋅ 1 2 x = c o s   x   2 x

Entendeu tudinho? Responde Aí! ☺

Resposta

d d x ∫ 3 x c o s c o s   t   t d t = c o s c o s   x   2 x

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