Use a Parte 2 do Teorema Fundamental do Cálculo para calcular a integral, ou explique por que ela não existe.

∫ 0 4 ( 1 + 3 y - y 2 ) d y

Passo 1

E aí! como vai?

Nesse problema foi dada a integral

∫ 0 4 ( 1 + 3 y - y 2 ) d y

E nosso objetivo é resolve-la ou explicar porque ela não existe usando a parte 2 do TFC.

Parece complicado?

A Parte 2 do Teorema fundamental do Cálculo diz que se temos uma função f ( x ) contínua num intervalo [ a ,   b ] , e conhecemos uma antiderivada F ( x ) da função, podemos calcular a integral no intervalo da seguinte maneira:

∫ a b f x d x = F b - F ( a )

Analisando a função da integral, vemos que se trata de uma função polinomial, então para calcular sua antiderivada, podemos aplicar a regra inversa da regra da potência.

f x = x n ⇒ F x = x n + 1 n + 1 + C           s e   n ≠ - 1

Sacou? Bora começar!

Passo 2

Vamos começar calculando a antiderivada de f y ...

f y = 1 + 3 y - y 2 → F y = y + 3 y 2 2 - y 3 3 + C

F y = y + 3 y 2 2 - y 3 3 + C

Aplicando então o TFC:

∫ 0 4 ( 1 + 3 y - y 2 ) d y = F 4 - F 0 = 4 + 3 4 2 2 - 4 3 3 + C - 0 + C

∫ 0 4 ( 1 + 3 y - y 2 ) d y = 4 + 24 - 64 3 + C - C

Perceba que sempre as constantes C vão se cancelar, por isso não aparecem no resultado final.

∫ 0 4 1 + 3 y - y 2 d y = 20 3

E aí! entendeu tudo? Responde Aí!

Resposta

∫ 0 4 ( 1 + 3 y - y 2 ) d y = 20 3

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