Enunciado

Use a Propriedade 8 para estimar o valor da integral.

∫ π 4 π 3 tg ⁡ x   d x

Passo 1

Vamos chamar a função que está sendo integrada de f , ou seja f x = tg ⁡ x .

Sabemos que a função tangente no intervalo π 4 , π 3 é crescente, então nesse intervalo temos um valor mínimo ( m ) e um valor máximo ( M ) nos extremos que são:

m = f π 4 = tg ⁡ π 4 = 1

E

M = f π 3 = tg ⁡ π 3 = 3

Passo 2

Uma propriedade das integrais nos diz que se tivermos uma função f ( x ) contínua em um intervalo a , b com um máximo absoluto M e um mínimo absoluto m , então a área do gráfico de f é menor ou igual que a área do retângulo de altura M e maior ou igual que o retângulo de altura m . Em termos matemáticos, isso quer dizer que:

m b - a ≤ ∫ a b f x d x   ≤ M b - a

Passo 3

Se tomarmos no caso da questão, a = π 4 e b = π 3 de modo que b - a = π 3 - π 4 = π 12 então:

m   π 12 ≤ ∫ π 4 1 f x d x   ≤ M   π 12

1   π 12 ( 1 ) ≤ ∫ π 4 1 f x d x   ≤ 3   π 12

Lembrando que f x = tg ⁡ x , temos que:

π 12 ≤ ∫ π 4 π 3 tg ⁡ x   d x ≤ 3 π 12

Resposta

O valor de ∫ π 4 π 3 tg ⁡ x   d x está entre π 12 e 3 π 12 :

π 12 ≤ ∫ π 4 π 3 tg ⁡ x   d x ≤ 3 π 12

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