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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 5.2 - Ex. 56

Use as propriedades das integrais para verificar a desigualdade sem calcular as integrais.

∫ 0 1 1 + x 2 d x ≤ ∫ 0 1 1 + x d x

Passo 1

Vamos chamar de f x = 1 + x 2 e g x = 1 + x .

Se sabemos que a raiz de um número maior é maior que a raiz de um número menor, e como x 2 ≥ x ⇒ 1 + x 2 ≥ 1 + x temos que:

1 + x 2 ≥ 1 + x

f x ≥ g x

Passo 2

Por definição, se f x ≥ g x , em a ≤ x ≤ b , então ∫ a b f x d x ≥ ∫ a b g x d x .

Logo:

∫ 0 1 f x d x ≥ ∫ 0 1 g x d x .

∫ 0 1 1 + x 2 d x ≥ ∫ 0 1 1 + x d x

Assim, vemos que a desigualdade do problema é incoerente com a propriedade das integrais.

Resposta

A desigualdade é falsa.

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Prove que o Teorema 5.6.7 é válido para a ordenação dada: cba (Teorema dado no livro).
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Prove que o Teorema 5.6.7 é válido para a ordenação dada: cab (Teorema dado no livro).
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