Enunciado
Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 5.6 - Ex. 46
Prove que o Teorema 5.6.7 é válido para a ordenação dada:
(Teorema dado no livro).
Passo 1
O teorema citado diz que se temos um intervalo qualquer contendo , , e no qual é integrável, teremos o resultado , independente da ordem de , , e . Sabemos de outro teorema que o resultado é válido para , queremos agora partir desse resultado provar para a ordem .
Passo 2
Se , podemos afirmar, pela ordem convencional do teorema que:
Mas o resultado que queremos é:
Já temos do lado direito da primeira equação a integral que queremos, então isolamos ela e colocamos na esquerda, ficando com a equação assim:
Agora temos , no lado direito, com os limites de integração trocados pois o que queremos é . Invertendo os limites de integração e multiplicando a integral por , chegamos no resultado que queríamos.
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)