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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 5.2 - Ex. 62

Use a Propriedade 8 para estimar o valor da integral.

∫ 0 2 x 3 - 3 x + 3   d x

Passo 1

A propriedade 8 do livro-texto, nos afirma que se tivermos uma função f ( x ) contínua em um intervalo a , b com um máximo absoluto M e um mínimo absoluto m , então a área do gráfico de f é menor ou igual que a área do retângulo de altura M e maior ou igual que o retângulo de altura m . Em termos matemáticos, isso quer dizer que:

m b - a ≤ ∫ a b f x d x   ≤ M b - a

Passo 2

Se nomearmos uma função f e definirmos ela como f x = x 3 - 3 x + 3 devemos procurar seus valores mínimo e máximo absolutos. Para isso devemos saber até onde f cresce e decresce no intervalo a , b = 0,2 que é o intervalo de integração, e podemos fazer isso por meio do teste da derivada:

f ' x = 3 x 2 - 3 = 3 x 2 - 1

Para f ' x = 0 em 0 ≤ x ≤ 2

f ' x = 3 x 2 - 1 = 0

x = ± 1

Mas como 0 ≤ x ≤ 2 :

x = 1

Para 0 < x < 1 :

f ' x < 0

f é decrescente

Para 1 < x < 2 :

f ' x > 0

f é crescente

Desse modo o temos o mínimo absoluto em x = 1 cujo valor mínimo é:

m = f 1 = 1 3 - 3 1 + 3 = 1

E o máximo então só pode ser um dos extremos x = 0 ou x = 2 :

f 0 = 0 3 - ( 0 ) x + 3 = 3

f 2 = 2 3 - 3 ( 2 ) + 3 = 5

Portanto, M = f 2 = 5

Passo 3

Temos então:

m b - a ≤ ∫ a b f x d x   ≤ M b - a

Como a = 0 , b = 2 ,   f x = x 3 - 3 x + 3 , m = 1 e M = 5 :

1 2 ≤ ∫ 0 2 x 3 - 3 x + 3   d x ≤ 5 2

2 ≤ ∫ 0 2 x 3 - 3 x + 3   d x ≤ 10

Resposta

O valor de ∫ 0 2 x 3 - 3 x + 3   d x está entre 2 e 10 :

2 ≤ ∫ 0 2 x 3 - 3 x + 3   d x ≤ 10

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