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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 8.2 - Ex. 68

Use qualquer método para calcular as integrais nos Exercícios 63-68.

68

∫ x c o s 3 x d x

Passo 1

O enunciado pede para gente calcular a integral indefinida.

Passo 2

Vamos começar reescrevendo a integral, lembrando que

Lembrando que

c o s 2 x = 1 - s e n 2 x

Então

∫ x c o s 3 x d x = ∫ x cos ⁡ x   c o s 2 x d x = ∫ x cos ⁡ x   1 - s e n 2 x

Aplicando a distributiva

∫ x cos ⁡ x   d x - ∫ x cos ⁡ x   s e n 2 x   d x

Passo 3

Agora vamos calcular as integrais separadamente, começando pela primeira

∫ x cos ⁡ x   d x

Podemos resolver essa integral, usando a técnica de integral por partes

∫ u d v =   u v - ∫ v d u

Onde

u = x d u = d x d v = cos ⁡ x d x v =   s e n   x

Então

∫ x cos ⁡ x   d x = x ⋅ s e n   x - ∫ s e n   x   d x = x ⋅ s e n   x + cos ⁡ x

Passo 4

Agora é a vez da segunda integral

∫ x cos ⁡ x   s e n 2 x   d x

Podemos resolver essa integral, usando a técnica de integral por partes

∫ u d v =   u v - ∫ v d u

Onde

u = x d u = d x d v = cos ⁡ x   s e n 2 x d x v = 1 3   s e n 3   x

Então

∫ x cos ⁡ x   s e n 2 x   d x = x ⋅ 1 3 s e n 3 x - ∫ 1 3 s e n 3 x   d x  

Passo 5

Agora teremos que calcular mais uma integral ☹

Essa aqui

∫ 1 3 s e n 3 x   d x  

Vamos lá, tudo começa escrevendo a integral de outro jeito

∫ 1 3 x s e n 3 x   d x =       1 3 ∫   s e n   x   s e n 2 x d x  

Sabemos que

s e n 2 x = 1 -   c o s 2 x

Então

1 3 ∫ x s e n   x   s e n 2 x d x = 1 3 ∫ s e n   x ⋅ 1 - c o s 2 x d x = 1 3 ∫   s e n   x   d x - 1 3 ∫ s e n   x   c o s 2 x d x

Passo 6

E mais integrais...

1 3 ∫ s e n   x   d x

A gente sabe que é - c o s ⁡ ( x ) 3

Agora

1 3 ∫ s e n   x   c o s 2 x d x

A gente tem que fazer uma substituição onde

u = cos ⁡ x d u = - s e n x d x

E aí a gente chega em

1 3 ∫ s e n   x   c o s 2 x d x = - 1 9 c o s 3 x

Então

1 3 ∫ s e n   x   c o s 2 x d x =   - c o s ⁡ ( x ) 3 - 1 9 c o s 3 x

Passo 7

Agora que a gente sabe que

∫ x cos ⁡ x   s e n 2 x   d x = x ⋅ 1 3 s e n 3 x - c o s ⁡ ( x ) 3 - 1 9 c o s 2 x

Basta somar as integrais

x ⋅ s e n   x + cos ⁡ x -   x ⋅ 1 3 s e n 3 x - cos ⁡ x 3 + 1 9 c o s 2 x

Resposta

x ⋅ s e n   x -   x ⋅ 1 3 s e n 3 x - 2 cos ⁡ x 3 + 1 9 c o s 2 x

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