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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 8.2 - Ex. 63

Use qualquer método para calcular as integrais nos Exercícios 63-68.

63

∫ s e c 3 x t g   x d x

Passo 1

O enunciado pede para gente calcular a integral indefinida.

Passo 2

Vamos começar reescrevendo a integral.

∫ s e c 3 x t g   x d x = ∫ s e c 2 x sec ⁡ x t g   x d x

Vamos lembrar também que s e c 2 x = ( t g 2 x + 1 ) , então

∫ s e c 2 x sec ⁡ x t g   x d x =   ∫ ( t g 2 x + 1 ) sec ⁡ x t g   x d x = ∫ ( t g 2 x ⋅ sec ⁡ x + sec ⁡ x ) t g   x d x

Agora podemos escrever como a soma de duas integrais

∫ ( t g 2 x ⋅ sec ⁡ x + sec ⁡ x ) t g   x d x = ∫ t g   x ⋅ sec ⁡ x d x + ∫ sec ⁡ x t g   x d x

Vamos lembrar que sec ⁡ x = 1 c o s ⁡ ( x ) e t g x =   s e n ( x ) c o s ⁡ ( x )

Então

sec ⁡ x t g   x =   1 c o s ⁡ ( x ) ⋅ cos ⁡ x s e n x =   1 s e n x = csc ⁡ x

Então nossa integral fica

∫ t g   x ⋅ sec ⁡ x d x + ∫ csc ⁡ x d x

Passo 3

Agora vamos calcular as integrais separadamente, começando pela primeira

∫ t g   x ⋅ sec ⁡ x d x

Para essa integral usamos a substituição

u = sec ⁡ x d u = t g   x ⋅ sec ⁡ x d x

Então

∫ t g   x ⋅ sec ⁡ x d x = ∫ d u = u = sec ⁡ x + C

Passo 4

Agora é a vez da segunda integral

∫ csc ⁡ x d x

Essa integral não é simples de se calcular, mas a estratégia é multiplicar por c o t g   x + csc ⁡ x c o t g   x + csc ⁡ x

E depois usar uma substituição onde

u = c o t g x + csc ⁡ x

Isso resulta numa integral do tipo

- ∫ d u u = - ln ⁡ u = - ln ⁡ | c o t g x + c s c ⁡ ( x ) | + C

Passo 5

Agora basta somar as integrais

sec ⁡ x - ln ⁡ | c o t g x + c s c ⁡ ( x ) | + C

Resposta

sec ⁡ x - ln ⁡ | c o t g x + c s c ⁡ ( x ) | + C

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