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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 3.Exercícios Práticos - Ex. 158

Controle do erro

a. Com que precisão aproximada a aresta de um cubo deve ser medida para que seja razoavelmente seguro calcular a área de sua superfície dentro de uma margem de erro de 2 % ?

b. Suponha que a aresta seja medida com a precisão requerida no item (a). Com que precisão se pode calcular o volume do cubo a partir da medida da aresta? Para descobrir, estime o erro percentual no cálculo do volume que poderia resultar do uso da medida da aresta.

Passo 1

Na letra a , nosso objetivo final é calcular a área superficial total de um cubo como esse aqui:

Tendo 6 faces quadradas, a área superficial tem a seguinte fórmula:

S = 6 a 2

Podemos relacionar uma variação infinitesimal da área com uma variação infinitesimal da aresta. Basta derivar S em relação a a e considerar as aproximações d S ≅ ∆ S   e   d a ≅ ∆ a

d S d a = 12 a ≅ ∆ S   ∆ a

Logo:

∆ S ≅ 12   a   ∆ a

A questão diz que a margem de erro no cálculo da área superficial deve ser de 2 % , portanto:

∆ S S % = 2 %

∆ S S = 0,02

Substituindo ∆ S e S na última equação:

12   a   ∆ a 6 a 2 ≅ 0,02

∆ a a ≅ 0,01

∆ a a % ≅ 1 %

Fechou a letra a galera! A precisão relativa de medição da aresta “ a ” deve ser de 1 % para garantir uma margem de erro de 2 % no cálculo da área superficial total.

Passo 2

Show de bola, agora estamos falando do volume do cubo. Vamos lembrar que ele, em função da aresta, tem a seguinte expressão:

V = a 3

Sendo assim, podemos relacionar uma variação infinitesimal do volume com uma variação infinitesimal da aresta e, pra isso, basta derivar V em relação a a e considerar as aproximações d V ≅ ∆ V   e   d a ≅ ∆ a :

d V d a = 3 a 2 ≅ ∆ V   ∆ a

Logo:

∆ V ≅ 3 a 2   ∆ a

Como queremos saber o erro relativo do cálculo do volume, vamos dos dois lados por V :

∆ V V ≅ 3 a 2   ∆ a V

Substituindo pela expressão do volume, mas só do lado direito:

∆ V V ≅ 3 a 2   ∆ a a 3

∆ V V ≅ 3   ∆ a a

∆ V V ≅ 3 ∙ ∆ a a

∆ V V % ≅ 3 ∙ ∆ a a %

Opa, fechou então! Sabemos, da letra a , que o erro relativo da medição da aresta é de 1 % . Achar o erro relativo do cálculo do volume então é mole se substituirmos:

∆ V V % ≅ 3 ∙ 1 %

∆ V V % ≅ 3 %

Resposta

  1. Dentro da margem de erro dada, a aresta do cubo deve ser medida com uma precisão de aproximadamente 1 % .
  2. O volume pode ser calculado com uma precisão de aproximadamente 3 % a partir da medida da aresta.
Ver Outros Exercícios desse livro

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