Use um recurso gráfico computacional para estimar os valores máximo e mínimo absolutos de f , se houver, nos intervalos indicados e use os métodos do Cálculo para obter os valores exatos.

f(x) = (x - 1)^2 * (x + 2)^2 ; (-∞, +∞)

Passo 1

Oii tudo bem?

Mais uma de máximo e mínimo aí pra a gente!

Primeiro vamos ver usando um gráfico da função. Eu plotei no Geogebra e deu isso aqui oh:

Então olha só, dois mínimos absolutos em x = - 2 e x = 1 , um máximo relativo em x = - 1 2 (aproximadamente). Máximo absoluto a gente não tem!

Passo 2

Vamos fazer isso do jeito tradicional agora!

Pra derivar essa função a gente vai ter que usar regra do produto e da cadeia, então toma cuidado aqui:

f ' x = 2 x - 1 x + 2 2 + 2 x + 2 x - 1 2

Isso! agora a gente pode fazer isso aqui oh:

f ' x = 2 x - 1 x + 2 ( x + 2 + x - 1 )

f ' x = 2 x - 1 x + 2 ( 2 x + 1 )

Vamos ver onde isso zera então. Pra zerar, algum dos fatores tem que ser zero.

x - 1 = 0 → x = 1

x + 2 = 0 → x = - 2

2 x + 1 = 0 → x = - 1 2

Isso aí! Achamos os mesmos valores do gráfico! Daí era só testar pra saber qual que é mínimo ou máximo, mas a gente já sabe né😉

E prontinho! Conferiu com o que vimos no gráfico😉

Resposta

Pontos de mínimo absoluto em x = - 2   e   x = 1 .

Máximo relativo em x = - 1 2

Ponto de máximo absoluto não temos.

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