1. Prove que e^x ≥ 1 + x se x >= 0.
  2. Use o resultado do item (a) para provar que e^x >= 1 + x + 1/2 * x^2

Passo 1

Item a :

Vamos considerar uma função f x = e x - x - 1

A derivada dela é: f ' x = e x - 1

A função é crescente quando a derivada é positiva, então:

e x - 1 > 0 → e x > 1 → x > 0

Temos também que f 0 = e 0 - 0 - 1 = 0

Então, se a função é igual a zero em x=0 e positiva para valores de x maiores que zero, a função f ( x ) é sempre positiva quando x ≥ 0 , e logo:

f x = e x - x - 1 ≥ 0 → e x ≥ 1 + x   ,   s e   x ≥ 0

Passo 2

Item b:

Consideremos a função f x = e x - 1 2 x 2 - x - 1  

Temos que derivada dela é:

f ' x = e x - x - 1

A função é crescente quando:

f ' x = e x - x - 1 > 0

e x > 1 + x

Como visto no item anterior, isso ocorre sempre quando x ≥ 0 , logo a função f ( x ) é sempre positiva nessas condições, e daí:

f x = e x - 1 2 x 2 - x - 1 ≥ 0 → e x ≥ 1 + x + 1 2 x 2

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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