Onde a função periódica f(x) = 2 * e^(sen(x/2)) assume seus valores extremos, e que valores são esses?

Passo 1

Vamos começar derivando a função:

f ' x = 2 e s e n   x 2   ( cos ⁡ x 2 ) ( 1 2 )

f ' x =   e s e n   x 2   ( cos ⁡ x 2 )  

Os pontos críticos são quando a derivada é zero:

f ' x = e s e n   x 2   ( cos ⁡ x 2 ) = 0  

e s e n x 2 = 0       o u   cos ⁡ x 2 = 0

e s e n x 2 = 0   nunca ocorre, pois a exponencial é sempre maior ou igual a 1, então:

cos ⁡ x 2 = 0 → x 2 = ± π 2 → x =   ± π

Que são os nossos pontos críticos.

Passo 2

Vamos testar agora o tipo de extremo que temos:

f π = 2 e

f - π = 2 e - 1 = 2 e

Então, temos um ponto máximo em x = π , onde o valor é 2 e   e um ponto mínimo em x = - π , onde o valor é 2 e , mas a função é periódica então o valor se repete a cada 4 π como podemos ver no gráfico:

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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