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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 4.4 - Ex. 31

Use um recurso gráfico computacional para estimar os valores máximo e mínimo absolutos de f , se houver, nos intervalos indicados e use os métodos do Cálculo para obter os valores exatos.

f x = x 2 3 20 - x ; [ - 1,20 ]

Passo 1

Oii tudo bem?

Mais uma de máximo e mínimo aí pra a gente!

Primeiro vamos ver usando um gráfico da função. Eu plotei no Geogebra e deu isso aqui oh:

Aqui só dá pra ver que temos um mínimo absoluto em x = 0 . Mas olha só, como a função cresce exponencialmente, a gente imagina que em x = 20 ela tenha um ponto máximo nesse intervalo né?! Vamos ver se é isso mesmo...

Passo 2

Vamos fazer isso do jeito tradicional agora!

Pra derivar essa função a gente vai ter que usar regra do produto e da cadeia, então toma cuidado aqui:

f ' x = 2 3 x - 1 3 20 - x - 1 x 2 / 3

f ' x = 40 3 x - 1 3 - 2 3 x 2 3 - x 2 3

Essa expressão é zero quando x = 0 . Esse no caso é um ponto crítico do gráfico.

Vamos testar o valor da função nos pontos do intervalo.

f - 1 = - 1 2 3 ( 20 - - 1 = 21

f 20 = 20 2 3 20 - 20 = 0

Estávamos enganados hahaha! O ponto máximo é em x = - 1 e o mínimo é em x = 20   e   x = 0 .

E agora acabou😉

Resposta

Pontos de mínimo absoluto em x = 0   e   x = 20

Ponto de máximo: x = - 1

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