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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 4.8 - Ex. 15

Nos exercícios de 1 a 16, ache os extremos absolutos da função dada no intervalo indicado, se existir algum (15) f x = t g ( x ) + 2 s e c ⁡ ( x ) ; ( - π 2 , π 2 ) .

Passo 1

Vamos encontrar as derivadas primeira e segunda da função:

f ' x = s e c 2 x + 2 sec ⁡ x t g ( x )

f ' ' x = 2 sec ⁡ x sec ⁡ x t g x + 2 sec ⁡ x t g x t g x + sec ⁡ x s e c 2 x f ' ' x = 2 s e c 2 x t g x + 2 sec ⁡ x t g 2 x + s e c 3 x f ' ' x = 2 s e c 2 x t g x + 2 sec ⁡ x [ t g 2 x + s e c 2 x ]

Passo 2

A primeira derivada vai nos indicar se há pontos críticos na função. Vamos igualar a expressão encontrada no passo anterior.

s e c 2 x + 2 sec ⁡ x t g x = 0 s e c 2 x = - 2 sec ⁡ x t g x sec ⁡ x = - 2 t g x sec ⁡ x t g x = - 2 1 cos ⁡ x * 1 s e n x cos ⁡ x = - 2 1 cos ⁡ x * cos ⁡ x s e n x = - 2 1 s e n x = - 2 s e n x = - 1 2 x = s e n - 1 - 1 2 x = - π 6

O valor crítico é x = - π 6 .

Passo 3

Vamos avaliar os pontos críticos na segunda derivada para encontrarmos os pontos de mínimo ou máximo local.

  • Para x = - π 6

f ' ' - π 6 = 2 s e c 2 - π 6 t g - π 6 + 2 sec ⁡ - π 6 t g 2 - π 6 + s e c 2 - π 6 f ' ' - π 6 = 2 c o s 2 - π 6 t g - π 6 + 2 cos ⁡ - π 6   t g 2 - π 6 + 1 c o s ² ( - π 6 ) f ' ' - π 6 = 2 3 4 - 3 3 + 2 3 2 3 9 + 1 3 4 f ' ' - π 6 = - 8 3 * 3 3 + 4 3 1 3 + 4 3 f ' ' - π 6 = - 8 3 9 + 20 3 3 f ' ' - π 6 = - 8 3 9 + 20 3 9 f ' ' - π 6 = 12 3 9 = 4 3 3

x = - π 6 é um mínimo local porque o valor da segunda derivada é positivo.

Passo 4

Avaliando na função os pontos extremos do nosso intervalo temos:

f x = t g x + 2 s e c x = s e n x c o s x + 2 c o s x   = 2 + s e n x c o s x f - π 2 = ∞

f π 2 = ∞

Agora vamos olhar o ponto crítico na função.

f - π 6 = t g - π 6 + 2 sec ⁡ - π 6 f - π 6 = - 3 3 + 2 * 2 3 f - π 6 = - 3 3 + 4 3 3 = 3 3 3 = 3    

Como f - π 6 < f - π 2 ≤   f ( - π 2 ) , temos aqui um mínimo absoluto.

Resposta

Portanto, o valor extremo de f ( x ) é:

x = - π 6   u m   m í n i m o   a b s o l u t o .

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