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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 4.5 - Ex. 23

Use a regra de L’Hopital para determinar o seguinte exercício: l i m t → 0 t ( 1 - c o s t ) t - s e n t

Passo 1

Substituindo o limite, obtemos como resultado uma indeterminação do tipo 0/0:

l i m t → 0 0 ( 1 - c o s 0 ) 0 - s e n 0 = 0 0

Passo 2

Para aplicar o L’Hopital, derivamos o termo com l i m no numerador e no denominador. As derivadas serão dadas por:

l i m t → 0 d d t t ( 1 - c o s t ) + t d d t ( 1 - c o s t ) d d t ( t - s e n t ) → l i m t → 0 1 ⋅ ( 1 - c o s t ) + t d d t ( 1 ) - d d t c o s t d t d t - d d t s e n t

l i m t → 0 1 ⋅ ( 1 - c o s t ) + 0 - t ( - s e n t ) 1 - c o s t → l i m t → 0 1 - c o s t + t ( s e n t ) 1 - c o s t = 0 0

Passo 3

Aplicamos o L’Hopital mais uma vez. Assim derivamos mais uma vez no numerador e no denominador. Podemos chegar de novo se iremos ter uma inderteminação no limite. Assim :

l i m t → 0 d d t ( 1 ) - d d t c o s t + d t d t ( s e n t ) + t d d t ( s e n t ) d d t 1 - d d t c o s t → l i m t → 0 0 + s e n ( t ) + 1 ⋅ ( s e n t ) + t ⋅ c o s ( t ) 0 + s e n ( t )

l i m t → 0 0 + s e n ( t ) + 1 ⋅ ( s e n t ) + t ⋅ c o s ( t ) 0 + s e n ( t ) → l i m t → 0 s e n ( t ) + ( s e n t ) + t c o s ( t ) s e n ( t ) → s e n ( 0 ) + ( s e n 0 ) + 0 c o s ( 0 ) s e n ( 0 )

= 0 0

Observamos que obtemos outra indeterminação.

Passo 4

Aplicamos então o L’Hopital pela terceira vez, derivando novamente no numerador e no denominador.

l i m t → 0 s e n ( t ) + ( s e n t ) + t c o s ( t ) s e n ( t ) → l i m t → 0 d d t s e n ( t ) + d d t s e n ( t ) + d t d t c o s ( t ) + t d d t c o s ( t ) d d t s e n ( t )

l i m t → 0 c o s ( t ) + c o s ( t ) + c o s ( t ) + t s e n ( t ) c o s ( t )

Aplicando o limite, obtemos:

l i m t → 0 c o s ( 0 ) + c o s ( 0 ) + c o s ( 0 ) + 0 s e n ( 0 ) c o s ( 0 ) → 1 + 1 + 1 1 = 3

Resposta

Logo, conseguimos achar depois de três vezes aplicado a regra de L’Hopital, o valor definido do l i m da equação. O limite então é definido:

l i m t → 0 t ( 1 - c o s t ) t - s e n t → 3

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