Enunciado

Use a regra de L’Hôpital para determinar o limite:

lim x → 0   ⁡   e x - 1 2 x   s e n   x  

Passo 1

A regra de L’Hôpital estabelece que para limites indeterminados, temos que lim x → a ⁡ f ( x ) g ( x ) = lim x → a ⁡ f ' ( x ) g ' ( x )   . Então, vamos verificar a indeterminação primeiro.

Se substituirmos o valor x = 0     ficamos com 0 0 (indeterminado). Assim, podemos derivar as duas funções e calcular o limite...

Passo 2

lim x → 0   ⁡   e x - 1 2 x   s e n   x =   l i m x → 0   2 e x - 1 e x x cos ⁡ x + s e n   x = l i m x → 0   2 e 2 x - 2 e x x cos ⁡ x + s e n   x  

Vamos derivar de novo...

l i m x → 0   2 e 2 x - 2 e x x cos ⁡ x + s e n   x =   l i m x → 0   4 e 2 x - 2 e x - x   s e n   x + 2 cos ⁡ x

Substituímos o valor, e...

l i m x → 0   4 e 2 x - 2 e x - x   s e n   x + 2 cos ⁡ x =   4 e 0 - 2 e 0 0   s e n   0 + 2 cos ⁡ 0 = 2 2 = 1

E, é isso😉

Resposta

lim x → 0   ⁡   e x - 1 2 x   s e n   x = 1

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