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Enunciado

Cálculo - James Stewart - Vol 1- Ed: 8º - Capítulo 7.7 - Ex. 5

Use (a) a Regra do Ponto Médio e (b) a Regra de Simpson para aproximar a integral dada com o valor de n especificado. (Arredonde seu resultado para seis casas decimais). Compare seu resultado com o valor real para determinar o erro em cada aproximação.

∫ 0 π x 2 sen ⁡ x d x , n = 8

Passo 1

  1. Temos o intervalo 0 ≤ x ≤ π , e vamos usar n = 8 , com f x = x 2 s e n   x , temos que ∆ x :

    2. ∆ x = b - a n = π - 0 8 = π 8

    Agora vamos achar a aproximação do ponto médio M 8 , onde os x dos pontos são os pontos médios de cada intervalo:

    M 8 = ∑ i = 1 n f x i - ∆ x = f π 16 + f 3 π 16 + f 5 π 16 + ∙ ∙ ∙ + f 15 π 16 π 8 ≈ 5,932957

    Passo 2

  2. Com a Regra de Simpson temos:

S 8 = f 0 + 4 f π 8 + 2 f 2 π 8 + 4 f 3 π 8 + 2 f 4 π 8 + 4 f 5 π 8 + 2 f 6 π 8 + 4 f 7 π 8 + f π ∆ x 3 = f 0 + 4 f π 8 + 2 f 2 π 8 + 4 f 3 π 8 + 2 f 4 π 8 + 4 f 5 π 8 + 2 f 6 π 8 + 4 f 7 π 8 + f π 1 3 . π 8 ≈ 5,869247

Passo 2

Temos o valor real da integral:

∫ 0 π x 2 sen ⁡ x d x ≈ 5,86960 4

Vamos agora achar os erros de E M e E S :

E M = r e a l - M 8 = ∫ 0 π x 2 sen ⁡ x d x - M 8 ≈ 5,869604 - 5,932957 ≈ - 0,6335 3

E S = r e a l - S 8 = ∫ 0 π x 2 sen ⁡ x d x - S 8 ≈ 5,869604 - 5,869247 ≈ 0,00035 7

Resposta

  1. M 8 ≈ 5,932957
  2. S 8 ≈ 5,869247
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