Enunciado
Cálculo - James Stewart - Vol 1- Ed: 8º - Capítulo 5.2 - Ex. 11
Use a regra do ponto médio como o valor dado para aproximar a integral . Arredonde cada resposta para quatro casas decimais.
Passo 1
Blzinha?
Esse problema pede para aproximar a integral:
Usando o ponto médio, com , e arredondar para casas decimais.
Vamos relembrar a fórmula da regra do ponto médio, beleza?
A regra do ponto médio é uma técnica de aproximação numérica usada para calcular a integral definida de uma função. Em vez de calcular a área exata sob a curva da função, a regra do ponto médio usa retângulos para aproximar essa área. A altura de cada retângulo é determinada pelo valor da função no ponto médio de cada subintervalo. Dessa forma:
Onde:
- é a largura de cada subintervalo.
- é o ponto médio do i-ésimo subintervalo, e não se assuste com essa fórmula, é apenas a média aritmética do começo e do fim do intervalo .
- A altura de cada retângulo é o valor da função no ponto médio, .
- A área de cada retângulo é então .
Dessa forma
E por fim a soma das áreas de todos os retângulos dá a aproximação da integral!
Agora que já temos as fórmulas é só substituir os dados que nos foram dados. Bora lá.
Passo 2
Temos que e . Então
Agora vamos definir os intervalos, como varia de a , pense como se estivéssemos subindo uma escada, do degrau ao degrau , e nos dará o tanto de degrau que vamos subir a cada passo, nesse caso, .
Temos então, os seguintes intervalos:
- e seu ponto médio
- e seu ponto médio
- e seu ponto médio
- cujos ponto médio
Passo 3
Agora que já temos quase tudo em mãos, vamos calcular! Aproximamos a integral utilizando a regra do ponto médio:
Vamos calcular para cada :
Pela regra do ponto médio,
