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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 7.7 - Ex. 11

Use (a) a Regra do Trapézio, (b) a Regra do Ponto Médio e (c) de a Regra de Simpson para aproximar a integral dada com o valor n especificado.

∫ 1 4 l n x d x ,   n = 6

Passo 1

Para solucionarmos a questão, no trapézio, precisamos calcular o ∆ x . A regra do Trapézio é dada por

∫ a b f ( x ) d x ≈ T n = ∆ x 2 [ f ( x 0 ) + 2 f ( x 1 ) + … + 2 f ( x n - 1 ) + f ( x n ) ]

Onde:

∆ x = b - a n

Para o ponto médio, temos que

∫ a b f ( x ) d x ≈ M n = ∆ x [ f x - 1 + f x - 2 + … + f x - n ]

Onde: x - i = 1 2 ( x i - 1 + x 1 ) .

Para a regra de Simpson,

∫ a b f x d x ≈ S n = ∆ x 3 [ f ( x 0 ) + 4 f ( x 1 ) + 2 f ( x 2 ) + 4 f ( x 3 ) + … + 2 f x n - 1 + 4 f x n - 1 + f x n ]

Passo 2

Fazendo para a regra do trapézio, temos

∆ x = 4 - 1 6

∆ x = 1 2

Logo, ∆ x = 1 2 .

Aplicando na integral,

T 6 = 1 2 × 2 [ f 1 + 2 f 1,5 + 2 f 2 + 2 f 2,5 + 2 f 3 + 2 f 3 , 5 + f ( 4 ) ]

T 6 ≈ 2,591334

Para o ponto médio, temos que

M 6 = 1 2 [ f 1,25 + f 1,75 + f 2,25 + f 2,75 + f 3,25 + f ( 3,75 ) ]

M 6 ≈ 2,681046

Para a regra de Simpson, fazemos novamente seguindo o modelo,

S 6 = 1 2 × 3 [ f 1 + 4 f 1,5 + 2 f 2 + 4 f 2,5 + 2 f 3 + 4 f 3 , 5 + f 4 ]

S 6 ≈ 2,631976

Resposta

T 6 ≈ 2,59133 4 , M 6 ≈ 2,681046 e S 6 ≈ 2,631976

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