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Enunciado

Cálculo - Dennis G. Zill - Equações Diferenciais - Vol 1- Ed: 3º - Capítulo 6.5 - Ex. 41

Mostre que a equação

s e n   θ d 2 y d θ ²   + cos ⁡ θ d y d θ + n n + 1 s e n θ y = 0

Pode ser transformada na equação de Legendre através da substituição x = cos θ.

Passo 1

Se x é igual a cos θ, então, antes de tudo, precisamos encontrar a derivada primeira e segunda, ou seja:

d y d θ = - s e n   ( θ ) d y d x

E

d ² y d θ ² = - s e n   θ ²   d ² y d x ² - cos ⁡ d y d x

Passo 2

Agora, podemos substituir e encontrar a equação!

[ s e n   θ - s e n   θ * cos ⁡ ² θ ]   d 2 y d x 2 - s e n θ * 2 c o s θ d y d x + s e n   θ * n n + 1 y = 0      

Ajeitando a equação, teremos:

s e n θ   ( 1 - cos ² ⁡ θ )   d 2 y d x 2 - 2 c o s θ d y d x + n n + 1 y = 0      

Passo 3

Como sabemos, x=cos θ , sendo assim, substituiremos a equação encontrada anteriormente:

1 - x 2 d 2 y d x ² - 2 x d y d x + n n + 1 y = 0  

Chegamos, então, na equação de Legendre desejada!

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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